vollständige Induktion

07.11.2010, 12:20

limes_superior

vollständige Induktion

Hallo, hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2^{n} < n^{3} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n = 2 \Rightarrow 4 < 8 , \forall n \in \mathbb N , n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist klar.

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n \to n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} = 2 * 2^{n} < n^{3}+3n^{2}+3n+1 < ...? \end{eqnarray*}$

Ab da an weiss ich leider nicht mehr weiter, vor allem ist es ohne hin schon grotesk, finde ich, dass das Relationszeichen bei Induktionsvoraussetzung < sein soll.
Hätte jemand eine Idee, wie man ab der entsprechenden Stelle weiter machen müsste?

gruß
limes_s

07.11.2010, 12:23

IfindU

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RE: vollständige Induktion
Ich fürchte du wirst etliche Probleme haben das zu beweisen. Das ist für fast alle n falsch.

Du könntest aber beweisen, dass 2^n > n^3 für fast alle n ist.

07.11.2010, 12:37

limes_superior

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RE: vollständige Induktion
Der Witz ist aber, wenn man Probeeinsetzungen macht, die größer oder gleich 2 sind, wird die Ungleichung erfüllt, also muss dass ja auch irgendwie mit vllst. Ind. zu beweisen sein.

limes_s

07.11.2010, 12:39

Iorek

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$\begin{eqnarray*} 2^{10}=1024\stackrel ?< 1000 = 10^3 \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 12:41

limes_superior

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Autsch, da hast du natürlcih recht, heisst das ich sollte den Tip von Ifindu wahrnehmen?

limes_s

07.11.2010, 13:16

Iorek

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Das kommt ganz darauf an, was auf dem Aufgabenblatt steht, wenn du wirklich die Aussage 2^n<n^3 beweisen sollst, ist das ein Fehler auf dem Blatt. Du könntest dann durch den Beweis der Aussage 2^n>n^3 die Aussage widerlegen.

07.11.2010, 13:26

limes_superior

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Auf dem Blatt steht, dass man untersuchen soll für welche natürl. Zahlen n gilt:

$\begin{eqnarray*} 2^{n} < n^{3} \end{eqnarray*}$

limes_s

07.11.2010, 13:53

Iorek

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Na, dann bietet sich in diesem Fall doch an, die n für die die Ungleichung erfüllt ist anzugeben und danach zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2^n>n^3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 10 \end{eqnarray*}$ gilt. Augenzwinkern

07.11.2010, 14:09

limes_superior

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Meinst du ich soll bei $\begin{eqnarray*} 2^{n} < n^{3} \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch zeigen, da diese nur für $\begin{eqnarray*} n \in [2 , 10[ \end{eqnarray*}$ gilt. Und dann zeigen, dass aber $\begin{eqnarray*} \forall n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 2^{n} > n^{3} \end{eqnarray*}$ ?

limes_s

07.11.2010, 14:14

Iorek

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Zitat:

Original von limes_superior
dass aber $\begin{eqnarray*} \forall n \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 2^{n} > n^{3} \end{eqnarray*}$ ?

limes_s

Das gilt ja eben nicht, es gibt ja einige natürliche Zahlen, für die 2^n<n^3 gilt. Aber das sind nur sehr wenige, die kann man direkt aufschreiben. Für $\begin{eqnarray*} n\geq 10 \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} 2^n>n^3 \end{eqnarray*}$ , das kann man per vollständiger Induktion zeigen.

07.11.2010, 14:22

limes_superior

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Ich verstehe, du meinst also, ich soll bei $\begin{eqnarray*} 2^{n} < n^{3} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass diese nur zwischen 2 bis 9 geht und zwar durch Probeeinsetzung zeigen, und dann anschließend zeigen, dass aber $\begin{eqnarray*} \forall n \geq 10 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 2^{n} > n^{3} \end{eqnarray*}$ .

limes_s

07.11.2010, 14:28

Iorek

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Zitat:

Original von limes_superior
Ich verstehe, du meinst also, ich soll bei $\begin{eqnarray*} 2^{n} < n^{3} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass diese nur zwischen 2 bis 9 geht und zwar durch Probeeinsetzung zeigen

Ja, dafür brauchst du auch keine Induktion, einsetzen, ausrechnen, fertig Augenzwinkern

07.11.2010, 14:48

limes_superior

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Alles klar, vielen Dank, jetzt hats klick gemacht.

gruß
limes_s

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