Die Summe einer Summe

07.11.2010, 12:25

7.1

Die Summe einer Summe

Meine Frage:
Ich bin jetzt im ersten Semester Chemie und muss für die Mathe- Übungen jede Woche ein Blatt ausfüllen. Die ersten beiden Blätter hab ich glaub ich ganz gut gelöst, aber nun beim dritten Blatt komm ich garnicht mehr weiter.
Es handelt sich direkt um die Aufgabe 1.:
Dort steht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \sum\limits_{m=1}^M n*(M-m) \end{eqnarray*}$ und die Aufgabe dazu lautet: Finden sie eine Formel für die folgenden Ausdrücke (es gibt noch ein aufgabenteil b), den ich aber gegebenenfalls selbst lösen möchte)

Meine Ideen:
Meine eigenen Ideen sind dazu sehr übersichtlich.
Ich glaube, dass sich so einen Ausdruck finden soll, wie man ihn bei der Vollständigen Induktion immer gegeben hat und beweisen soll, dass der gilt. Allerdings hab ich so einen Ausdruck noch nie selbst erstellt und ich hab auch noch nie die Summe einer Summe gesehen. Trotzdem hab ich mal irgendwas probiert, aber es würde mich stark wundern falls das richtig wäre:
... $\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^N n*(X-n)<br /> = \sum\limits_{n=1}^N n*X-n^{2} <br /> = N*X - \frac{N*(N+1)}{2} \end{eqnarray*}$
und ich hab mir das so überlegt: n und m haben den selben Startwert daher hab ich geflgert n=m (wobei ich mir hier schon sehr unsicher bin). M ist die obere Grenz der 2. Summe daher steht die mehr oder weniger fest--> M=X. Dann hab ich die Klammer aufgelöst und in einer alten Induktionsaufgabe geschaut und da war $\begin{eqnarray*} n^{2} = \frac{N*(N+1)}{2} \end{eqnarray*}$

So auf jeden Fall schonmal vielen Dank für die Hilfe
Gruß 7.1

07.11.2010, 13:11

Abakus

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RE: Die Summe einer Summe

Zitat:

Original von 7.1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \sum\limits_{m=1}^M n*(M-m) \end{eqnarray*}$

Hallo!

Rechne bitte ausschließlich mit den Bezeichnungen der Aufgabe (ansonsten ist da nicht durch zu finden).

Anbieten tun sich zunächst ganz einfache Rechenschritte, um die Doppelsumme zu vereinfachen: wir multiplizieren zB erstmal die Klammer aus:

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^N \sum\limits_{m=1}^M (n \cdot M - n \cdot m) \end{eqnarray*}$

Beachte die Klammersetzung. Jetzt lässt sich die innere Summe in zwei Summen zerlegen:

...

Kannst du das so weiterschreiben? (mache nur elementare Schritte zunächst)

Grüße Abakus smile

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