Äquivalenzrelationen

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Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen
Hallo zusammen,

ich habe große Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe:

Wir schreiben abkürzend R^n:= R x...x R (n-mal) für die Menge aller n-Tupel reeller Zahlen. Welche der folgenden TEilmengen definieren eine Äquivalenzrelation? Begründen Sie Ihre Antworten.

(a) A:={(x1, x2), (y1, y2)) € R² x R² I x1 - y1 = x2 - y2}
(b) B:= {x, y) € R x R I x-y € Z}
(c) C:= { (x,y) € R x R I x - y € R>o} wobei R>o := {z € R I z>o}
(d) Beschreiben Sie in den Fällen, in denen eine Äquivalenzrelation vorliegt, die Äquivalenzklassen geometrisch.

Mein einzigster Ansatzpunkt ist das ich um eine Äquivalenzrelation nachzuweisen, die REfelexivität, SYmmetrie und Transitivität nachweisen muss. Ich habe aber wenig Ahnung, wie das hier funktioniert.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelationen
Matrix erstellen, anhand dieser schnell Reflexivität und Symmetrie ablesbar.

Nachweis für Reflexivität ist:
x --> y und y--> x

Nachweis für Symetrie:
x --> x

Nachweis für Transitivität:

x-->y y--> z daraus folgt x-->z
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelationen
hallo baphomet
wie würde das den zum Beispiel anhand der (a) aussehen. Könntest du mir da ein Beispiel machen. Ich habe Probleme damit, dass zu verstehen.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelationen
Bei Aufgabe a)

Es handelt sich darum zu zeigen das ist,
wenn ich das der Aufgabe richtig entnehme.
Symmetrie liegt in diesem Fall vor, denn jedes Elemnt ist zu sich selbst äquivalent.



Bei Aufgabe b)

Es liegt schonmal Symmetrie vor, denn x bleibt x.
Bei der Reflexivität stimmts nicht, denn , daher nicht reflexiv.
Daraus flgt keine Äquivalenzrelation, Nachweis der Transitivität ist nicht zu liefern.

Um dir zu helfen mal ein Alltagsbeispiel um dir die Relationen näher zu bringen.
Es existieren 3Personen A, B und C.

Wenn A=1,80 dann ist A=1,80, also Symmetrisch
Wenn A so groß ist wie B, dann ist B so groß wie A, Reflexiv.
Wenn A so groß ist we B, und B so groß wie C, dann ist A so groß wie C, transitiv.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelationen
Zitat:
Original von baphomet
Bei Aufgabe b)

Es liegt schonmal Symmetrie vor, denn x bleibt x.
Bei der Reflexivität stimmts nicht, denn , daher nicht reflexiv.
Daraus flgt keine Äquivalenzrelation, Nachweis der Transitivität ist nicht zu liefern.


Auf welche Aufgabe b) beziehst du dich denn bitte? verwirrt
Und "x bleibt x" für die Symmetrie kann ich bei der b) nicht nachvollziehen was du damit sagen/zeigen willst.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelationen
Bei Aufgabe b) gibts die Menge

wenn ich das richtig sehe und die Relation
bezieht sich auf die Subtraktion der beiden Zahlen x und y, deren Differenz ein
Element der ganzen Zahlen sein soll.
Wenn ich jetzt ein Zahlenbeispiel zulasse ist die Symmetrie für mich ganz
klar gegeben.
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann siehst du falsch. Bei b) ist auf eine Relation definiert mit . Symmetrie ist zwar eigentlich klar, sollte aber weiter begründet werden, und dein "x bleibt x" geht für mich vollkommen an einer Begründung vorbei, ebenso deine falsche Begründung für die Reflexivität (in der Tat ist diese Relation sogar reflexiv).
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe schon ich bin hier überflüssig, dann mach du mal weiter.
Ich bekomme hier ständig einen Anschiss das ich mich in Beiträge von anderen reinhänge und jetzt werde ich hier schon wieder unterbrochen.

Außerdem, in welchem Zahkenbereich befinden sich denn jetzt x und y?
Da steht , auf diese bezieht sich wohl die Relation, oder bin ich wider völlig falsch.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn du bei anderen reinplatzt und störst ist das natürlich das gleiche wie hier, wo ich dich auf einen mathematischen Fehler aufmerksam mache und damit vermeiden will, dass Brosinski eine falsche Hilfe bekommt. unglücklich

Ich hätte auch schon nach deinem ersten Beitrag "reinplatzen" können:

Zitat:
Original von baphomet
Nachweis für Reflexivität ist:
x --> y und y--> x

Nachweis für Symetrie:
x --> x


Das ist falsch.

Es geht hier nicht darum, dass ich dich unterbrechen will, ich will lediglich vermeiden, dass hier falsche Aussagen stehen und als wahr angenommen werden.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das denn falsch?


ich weiß zwar nicht wie ich das Äquivalenzsymbol hinbekomme, aber wir haben 2 Elemente in einer vorgegebenen Menge R. Wenn ich nun

anwende und diese Menge aus den Elementen besteht

={(1,1),(2,2),(3,3)} dann ist sie auf jedenfall symmetrisch, ist
nämlich die Diagonale der Matrix, oder ist das auch wider falsch?
Du sagst bestimmt ja.

wenn Sie dagegen aus den Elemente

={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)} besteht ist diese reflexiv?
du sagst das ist falsch
Gehen wir davon aus das wir die beiden obengennanten Fälle zusammenlegen und dazu noch weitere Elemente kann transitivität erreicht werden.


Ok, jetzt bekommst ne falsche Aussage, PI ist keineZahl sondern ein Buchstabe.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von baphomet
Wo ist das denn falsch?


Ganz einfach: eine Relation auf einer Menge ist reflexiv, wenn jedes Element zu sich selbst in Relation steht, d.h. . Eine Relation ist symmetrisch, wenn aus stets folgt. Bei dir steht irgendwas anderes, du scheinst die Definitionen vertauscht zu haben, hast sie aber auch falsch aufgeschrieben, bei dir folgt aus einem Element x das Element y, was keinen Sinn ergibt.

Zitat:
Original von baphomet
ich weiß zwar nicht wie ich das Äquivalenzsymbol hinbekomme, aber wir haben 2 Elemente in einer vorgegebenen Menge R.


Nein, wir haben wie im Anfangspost auch richtig steht , also die Menge aller 2-Tupel mit Einträgen aus .


Zitat:
Original von baphometWenn ich nun R kreut R anwende und diese Menge aus den Elementen besteht

(1,1),(2,2),(3,3) dann ist sie auf jedenfall symmetrisch, ist nämlich die Diagonale der Matrix, oder ist das auch wider falsch? Du sagst bestimmt ja.


Ich versteh grad nichtmal, was du damit sagen willst, es hat auch mit der Aufgabe nichts zu tun.

Zitat:
Original von baphomet
wenn Sie dagegen aus den Elemente

(1,2),(2,1),(3,4),(4,3) besteht ist diese reflexiv? du sagst das ist falsch


Selbe wie oben.

Zitat:
Original von baphomet
Ok, jetzt bekommst ne falsche Aussage, PI ist keineZahl sondern ein Buchstabe.


Vielen Dank für diese Information.
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Ist schon gut, mach du weiter, du gehörst ja zur Elite und hast drauf.
Ich dagegen bin nur ein dummer Schwachkopf, der was durcheinander bringt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von baphomet
Ist schon gut, mach du weiter, du gehörst ja zur Elite und hast drauf.
Ich dagegen bin nur ein dummer Schwachkopf, der was durcheinander bringt.


Ich habe nie behauptet, dass ich "zur Elite gehöre" und dich auch nicht als Schwachkopf bezeichnet, ich habe dich lediglich auf einen Fehler aufmerksam gemacht den du aber anscheinend nicht einsehen willst. Stattdessen wirfst du mit komischen Beispielen um dich und wirst beleidigend, find ich super. Freude
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Hilf ihm, ich bin weg. Und wo war ich denn bitte schön beleidigend, habe ich
gesagt das du rgendwas behauptest?

Gründlich lesen. smile

Geändert Gbild und Ort verändern Sinn und Ort
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

zu (a)
zur Symmetrie:

(x1, x2)~(y1~y2) = x1 -y1 = x2-y2
<=> (y1, y2)~ (x1, x2) = y1-x1 = y2-x2

Damit wäre doch die Symmetrie nachgewiesen, oder?

zu (b)

x~y = x-y
<=> y~x = y-x

da dies nicht gilt, gilt keine Symmetrie und diese Teilmenge definiert keine Äquivalenzrelation und somit muss Reflexivität und Transitivität nicht mehr bewiesen werden. Liege ich damit richtig?
Aber wie mache ich das bei (C) und wie weise ich Reflexivität und Transitivität von (a) nach?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@baphomet, ich werde da jetzt kein weiteres Wort drüber verlieren, das ist mir meine gute Laune nicht wert. Desweiteren werde ich einen Mod bitten, einen Teil des Threads auszuschneiden und zu entfernen/zu verschieben. Falls du noch was dazu sagen willst, bitte per PN.

@Brosinski:

Du hast bisher noch keinen Nachweis gebracht zur Symmetrie bei der a) sondern nur das aufgeschrieben, was du zeigen sollst/musst. Nimm dir zwei Elemente aus der Relation, d.h. mit , gilt unter dieser Vorraussetzung dann auch ?

Bei der b) solltest du nochmal die Definition der Relation genau nachlesen, da fehlt ein sehr wichtiger Teil.
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich es nicht als Nachweis betrachten, dass ich
x1-y1 = x2-y2 umformen kann in y1-x1 = y2-x2?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Umformung sauber aufschreibst, ist das in der Tat der nötige Nachweis. smile
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

zu (B) und (C)
was für Auswirkungen hat es denn, dass bei (b) € Z und bei (C) €R>0 steht, weil ansonsten ist ja alles gleich. Stehe da grad irgendwie auf dem Schlauch.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zurerst mal die b):

Zwei Elemente stehen genau dann in Relation zueinander, wenn ihre Differenz eine ganze Zahl ist. Kannst du damit schon Aussagen zur Reflexivität/Symmetrie/Transitivität machen?
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

Äh nein, nicht direkt, oder sollte ich das können?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ja Augenzwinkern

Guck dir mal die Reflexivität an, steht jede reelle Zahl zu sich selbst in Relation?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von baphomet
wo war ich denn bitte schön beleidigend


Iorek hält sich sehr zurück, ich bin gerne etwas ehrlicher:
Du bist respektlos und eingeschnappt, dass es dem Niveau eines 6-jährigen Kindes entspricht, nicht aber dem eines 22-jährigen, erwachsenen Menschen.

Die Wahrheit tut manchmal weh - ist deswegen aber keineswegs falsch. So. Und nun verhalte dich bitte mal den Boardregeln entsprechend. Zwischen einem Helfer grundlos in den Weg zu springen und auf Fehler hinzuweisen ist es ein riesiger Unterschied. Und um das mal klarzumachen, Iorek hat nur einen Bruchteil der Fehler in deinen formal und inhaltichen zum Teil katastrophalen Postings angesprochen.

air
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brauch wohl noch einen Tipp. Irgendwie machts bei mir nicht klick. Mit den Zahlenbereichen bei (b) und (c) komme ich nicht zurecht und mit dem Nachweis der Refelexivität und Transitivität haperts auch noch.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Lass die c) erstmal weg, die kommt später dran (und erklärt sich nach der b) auch von selbst).

FÜr die Reflexivität muss jedes Element zu sich selbst in Relation stehen, auf diese Relation angewendet heißt das: für alle . Ist , dann ist die Relation reflexiv.
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

also ist (b) nicht reflexiv, da x-x € Z nicht für alle x € R gilt.

und (c) ist dann auch nicht reflexiv da x-x auch nicht für alle x € R größer als null ist.

Wie sieht das dann bei (a) aus?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Brosinski
also ist (b) nicht reflexiv, da x-x € Z nicht für alle x € R gilt.


Da solltest du nochmal drüber nachdenken, Was ist denn x-x? Augenzwinkern
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

ah stimmt x-x ist 0 und das gehört ja zu Z. Danke. Aber bei (c) ist es schon richtig so, da 0 ja nicht € R>0 ist.

bei (a) gilt Reflexivität natürlich, da x-x natürlich äquivalent zu x-x ist, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die b) ist reflexiv, die c) nicht.

Die a) ist auch reflexiv, allerdings musst du wieder genauer mit der Begründung sein. Wir haben jetzt Elemente aus dem .
Brosinski Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann eben x²-x², aber kein Plan, wie ich das gensuer begründen soll.

Transitivität bei (a) ist gegeben durch:
x1-y1 = x2-y2 und y1-z1=y2-z2
daraus folgt durch umformen und einsetzen das x1-z1 = x2-z2

Damit hätte ich bei (a) alles nachgewiesen.

Symmetrie bei (b) ist gegeben, da wenn x-y € Z auch y-x € Z sein muss. Genauer begründen kann ich das nicht, aber ich denke das ist offensichtlich.

Transitivität ist denke ich auch gegeben, da dann gelten muss aus x-y € Z und y-z € Z folgt, dass auch x-z € Z ist. Genauer erklären kann ich auch das nicht, ist aber denke ich auch offensichtlich.

Damit hätte ich bei (b) auch alles bewiesen. (c) fällt weg, da sie nicht reflexiv ist, dann fehlt mir jetzt nur noch die (d).
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, x²-x² ist es auch nicht. Wir haben bei der a) ja eine ganz andere Relation die wir betrachten.

Zwei Vektoren stehen genau dann in Relation zueinander, wenn gilt.

Reflexivität: , was offensichtlich erfüllt ist.

Und "ist offensichtlich" finde ich grenzwertig, gerade wenn du es nicht genauer begründen kannst, is es ja anscheinend nicht offensichtlich, da solltest du also nochmal überlegen.

Ich bin jetzt gleich offline, wer will, darf gerne weitermachen.
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