Parametrisiertes Gleichungssytem

07.11.2010, 13:49

burn_art

Parametrisiertes Gleichungssytem

Hallo,

ich benötige Kontrolle bzw. Hilfe bei folgender Aufgabe (in der 2.ten Matrix sind die Lösungen, hatte leider Probleme bei der Formatierung):

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & k-1 \\ 0 & k-2 & 4-4k \\ 0 & 0 & k-k^{2}+2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ k-2 \\ 2-k \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie k so, dass sich unendlich viele, keine und genau eine eine Lösung für das Gleichungssytem ergibt. Geben Sie für den Fall unendlich vieler Lösungen ein Beispiel für eine Lösung an.

Meine Ideen zur Lösung der Aufgabe sind:

Für genau eine Lösung:
Bedingung:

$\begin{eqnarray*} k-k^{2}+2\neq 0 \Rightarrow k\neq -1 \cap k\neq 2 \end{eqnarray*}$

sowie:

$\begin{eqnarray*} k-2\neq 0 \cap 4-4k\neq 0 \cap k-2\neq 0 \Rightarrow k\neq 2\cap k\neq 1 \end{eqnarray*}$

und nicht:

$\begin{eqnarray*} k-2= 0\cap 4-4k= 0\cap k-2\neq 0 \end{eqnarray*}$

Was nicht geht da k-2 nicht gleichzeitig 0 und ungleich 0 sein kann.
Daraus folgt dann, dass das LGS für k ungleich 2 und k ungleich -1 genau eine Lösung hat.

Für keine Lösung:
Bedingung:
$\begin{eqnarray*} k-k^{2}+2=0\cap 2-k\neq 0\Rightarrow k= -1 \end{eqnarray*}$
Für k gleich -1 hat das LGS keine Lösung.

Für unendlich viele Lösungen:
Bedingung:

$\begin{eqnarray*} k-k^{2}+2=0\cap 2-k=0\Rightarrow k=2 \end{eqnarray*}$
Für k gleich 2 hat das LGS unendlich viele Lösungen.

So meine Frage erstmal, sind die verschiedenen Lösungen für k richtig bestimmt und ist die Begründung ausreichend? Und wie gebe ich ein Beispiel für unendlich viel Lösungen an? Muss ich dazu bestimmte Werte für x bestimmen?

Schonmal vielen Dank im Vorraus für eure Hilfe smile

07.11.2010, 14:11

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Parametrisiertes Gleichungssytem

Zitat:

Original von burn_art

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & k-1 \\ 0 & k-2 & 4-4k \\ 0 & 0 & k-k^{2}+2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ k-2 \\ 2-k \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie k so, dass sich unendlich viele, keine und genau
eine Lösung für das Gleichungssytem ergibt.

Meine Ideen zur Lösung der Aufgabe sind:

Für genau eine Lösung:
Bedingung:

$\begin{eqnarray*} k-k^{2}+2\neq 0 \Rightarrow k\neq -1 \cap k\neq 2 \end{eqnarray*}$
..schon fertig !
-> dass das LGS für k ungleich 2 und k ungleich -1 genau eine Lösung hat. Freude

Für unendlich viele Lösungen:

Für k gleich 2 hat das LGS unendlich viele Lösungen. Freude

Für keine Lösung:

Für k gleich -1 hat das LGS keine Lösung. Freude

im Vorraus

und was meinst du hier mit Lösungen ? :
in der 2.ten Matrix sind die Lösungen,..
verwirrt

07.11.2010, 14:17

burn_art

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich schreibes mal in Gleichungsform vielleicht ist es dann verständlicher.

$\begin{eqnarray*} 1x_{1} +1x_{2} +(k-1)x_{3} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1} +(k-2)x_{2} +(4-4k)x_{3} =k-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1} +0x_{2} +(k-k^{2}+2)x_{3} = 2-k \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 14:29

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von burn_art
Achso, ich schreibes mal in Gleichungsform
$\begin{eqnarray*} 1x_{1} +1x_{2} +(k-1)x_{3} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1} +(k-2)x_{2} +(4-4k)x_{3} =k-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_{1} +0x_{2} +(k-k^{2}+2)x_{3} = 2-k \end{eqnarray*}$

das war ja schon so zu vermuten .. nur das Wort "Lösungen"
für die Werte auf der rechten Seite war irgendwie nicht optimal gewählt smile

bleibt dir noch, das System für k=2 mal konkret aufzuschreiben,damit du
vielleicht selbst die verbleibende Frage (siehe oben) beantworten kannst? verwirrt

07.11.2010, 14:39

burn_art

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & k-1 \\ 0 & k-2 & 4-4k \\ 0 & 0 & k-k^{2}+2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ k-2 \\ 2-k \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Für k=2

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Meinst du dass so oder muss ich dasd ganze in Gleichungsform angeben oder ist das egal? Ich bin mit solchen Aufgaben noch nicht so ganz vertraut smile

07.11.2010, 15:04

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von burn_art
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & k-1 \\ 0 & k-2 & 4-4k \\ 0 & 0 & k-k^{2}+2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ k-2 \\ 2-k \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Für k=2

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ unglücklich

was gibt k-1 für k=2 ?

schreib doch das wieder in "Gleichungsform"
Frage war:
Geben Sie für den Fall unendlich vieler Lösungen ein Beispiel für eine Lösung an.

im Prinzip würde es genügen einen Lösungspunkt (x1,x2,x3) konkret anzugeben
also zB kannst du überlegen, ob etwa (7;-6;0) oder sowas , die Bedingungen erfüllt.

natürlich könntest du auch gleich beschreiben, wo alle möglichen Lösungen herumliegen smile

07.11.2010, 15:24

burn_art

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Lieg ich richtig mit der Vermutung das:

$\begin{eqnarray*} x_{3} = z , z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dass würde ich dann in die 2. Zeile einsetzen, aber da würde ja dann stehen:

$\begin{eqnarray*} 0x_{2}+(-4)z=0 \end{eqnarray*}$

Ab da bin ich dann etwas verwirrt, bzw. hab ich keine Ahnung wie ich von da an x2 und x3 bestimmen soll.

07.11.2010, 16:26

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von burn_art
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -4\\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

also, deine Bedingungen sind:
x+y+z=1 und
-4z=0

Die Punkte (x;y,z) die dies erfüllen liegen in der Ebene z=0
und dort auf der Geraden y=1-x

oder?

07.11.2010, 17:13

burn_art

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach x+y+z=1 und -4z=0, könnte man also nach y=1-x auflösen.

Ich würde dann für die erst Zeile folgendes rauskriegen:

x+(1-x)=1

Sehe ich dass, dann richtig das zwischen z und x keine Abhängigkeit besteht und ich x also frei wählen kann?

07.11.2010, 17:30

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von burn_art
Nach x+y+z=1 und -4z=0, könnte man also nach y=1-x auflösen.

Ich würde dann für die erst Zeile folgendes rauskriegen:

x+(1-x)=1 geschockt

1=1

mir scheint, du hast da was noch nicht so ganz richtig gesehen

x+y+z=1 und -4z=0

heisst:
1) z muss für alle möglichen der "unendlich vielen" Lösungen, um die es ja
bei dem betrachteten Fall geht, immer den Wert 0 haben
(und z=0 kannst du als die Gleichung der xy-Ebene deuten)

2) wenn du x beliebig wählst, dann ist jeweils das y dazu festgelegt:
y=1-x .. und dies ist die Gleichung einer Geraden in der xy-Ebene

3) wenn du willst, kannst du alle "unendlich vielen" Lösungen auch so
aufschreiben : ( s ; 1-s ; 0 ) ... wobei s friedlich alle reellen Zahlen
durchlaufen kann.

ok?

07.11.2010, 19:33

burn_art

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ja genau das was ich meinte, hab mich aber wahrscheinlich unklar formuliert. Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

Parametrisiertes Gleichungssytem

Verwandte Themen