Bild/Kern einer Lin. Abb.

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07.11.2010, 14:08	cybrid	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild/Kern einer Lin. Abb. Hallo. Ich habe das hier gegeben: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y)=\begin{pmatrix} y-x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zu bestimmen ist das Bild und der Kern von f und deren Dimension. Also dieses ganze Themengebiet ist noch ziemlich neu für mich. Ich habe für f folgende Matrix aufgestellt: $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} -1&1 \\ 0&0 \\ 1&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit komme ich dann auf den Kern: $\begin{eqnarray} ker f = \begin{pmatrix} x \\ \lambda \\ x \end{pmatrix}, x,\lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Der Kern hat die Dimension 1. (Kann das vielleicht einer begründen, falls es richtig ist?^^) Daraus folgt, da $\begin{eqnarray} dim(Im f) = dim (f) - dim (Ker f) \end{eqnarray}$ , dass das Bild die Dimension 1 hat. Nun verstehe ich nicht ganz wie man das Bild systematisch bestimmt. Ich habe in meinem skript eine allgemeine Mengendarstellung der Bildmenge aber wie wende ich das auf die Aufgabe an?
07.11.2010, 14:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix ist in Ordnung. Der Kern ist falsch. Das muss eine Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sein.
07.11.2010, 14:17	cybrid	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} ker f = \begin{pmatrix} x \\ \lambda \end{pmatrix}, x, \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ?
07.11.2010, 14:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
leider nicht . addiert man die erste zur dritten Zeile, sieht man, dass x=y gelten muss. also hat man einen Freiheitsgrad $\begin{eqnarray} y=\lambda \Rightarrow x=\lambda \end{eqnarray}$
07.11.2010, 14:38	cybrid	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist der kern: $\begin{eqnarray} ker f = \begin{pmatrix} \lambda \\ \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
07.11.2010, 14:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauer: $\begin{eqnarray} ker f =\{\lambda\begin {pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \|\lambda \in \mathbb R \} \end{eqnarray}$
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07.11.2010, 14:51	cybrid	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Danke. Heisst das, dass der Kern die dimension 0 hat?
07.11.2010, 14:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
EIN Basisvektor , d.h. Dimension 1 .
07.11.2010, 15:01	cybrid	Auf diesen Beitrag antworten »
ah. Verstehe. Demnach hat das Bild die Dimension 1 aber wie bestimmt man die Bildmenge?
07.11.2010, 15:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du schon mal vom Dimensionssatz gehört ? Gegeben lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to W\Rightarrow dim V=dim Bild(f)+dim Kern(f) \end{eqnarray}$ Im Bild liegen Vektoren der Form $\begin{eqnarray} \mu \begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der Verdacht liegt nahe, dass das alle sind.
07.11.2010, 15:38	cybrid	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehört schon. Ich habe sie im OP ja aufgeschrieben. Wie kommst du denn auf $\begin{eqnarray} \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? (ich nehme mal an, dass das die Lösung für das Bild sein soll) Sorry, wenn die Fragen sehr elementar sind. Ich kann mir nur nicht wirklich vorstellen/begreifen, was ich überhaupt berechne.
07.11.2010, 16:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild/Kern einer Lin. Abb. Es ist $\begin{eqnarray} f(x,y) = \begin{pmatrix} y-x \\ 0 \\ x-y \end{pmatrix} = (y-x) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Offensichtlich sind also alle Bilder Vielfache des Vektors $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
07.11.2010, 16:14	cybrid	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich steig langsam dahinter. Vielen Dank, euch beiden, für eure Hilfe. Finds echt klasse, dass sich die Leute hier so (freiwillig) engagieren.

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Bild/Kern einer Lin. Abb.

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