Matrizen (2 Norm, s.p.d.)

14.11.2006, 00:05

20_Cent

Matrizen (2 Norm, s.p.d.)

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Zitat:

a.) Zeige, daß die von der euklidischen Vektornorm $\begin{eqnarray*} \| x \|_2 = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2} \end{eqnarray*}$
induzierte Matrixnorm gegeben ist durch

$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 = \sqrt{ \max{ \{ |\lambda|; \lambda \mbox{ ist Eigenwert von } A^TA \}}} \end{eqnarray*}$ .

Benutze dabei, daß jede symmetrische Matrix aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ orthogonale Eigenvektoren hat.

b.) Zeige, daß für die Konditionszahl zur $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ –Norm für symmetrisch positiv definite (s.p.d.) Matrizen
A die Identität

$\begin{eqnarray*} \kappa_2(A)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \end{eqnarray*}$

gilt, wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{\max} \end{eqnarray*}$ der größte und $\begin{eqnarray*} \lambda_{\min} \end{eqnarray*}$ der kleinste Eigenwert von A sind.

c.) Wir betrachten das LGS $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ s.p.d. ist.
Der Einfachheit wegen seien alle Eigenwerte von A verschieden.
Es sei $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gestört um $\begin{eqnarray*} \delta b \end{eqnarray*}$ mit gegebener Norm $\begin{eqnarray*} \| \delta b\|_2 =\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Bei welcher Richtung $\begin{eqnarray*} \delta b \end{eqnarray*}$ wird die zugehörige Störung $\begin{eqnarray*} \|\delta b\|_2 \end{eqnarray*}$ maximal ?

Wäre schön, wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte, ich weiß nämlich überhaupt nicht, wie ich die Aussagen zeigen kann.

zu a) hab ich schonmal folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 = \max_{x \in \mathbb R^n, x \neq 0} \frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2} \geq \frac{\|Av\|_2}{\|v\|_2} = |\lambda| \end{eqnarray*}$ für einen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und den passenden Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

scheint mich aber nicht weiter zu bringen...

zu den anderen später.
Danke schonmal fürs durchlesen smile

mfG 20

14.11.2006, 20:01

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

*push*

weiß denn wirklich keiner weiter? ich verzweifle traurig

15.11.2006, 14:01

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab leider immer noch keine idee gehabt (hab leider auch wenig zeit darüber nachzudenken...), wenn irgendeiner nen ansatz hätte, wär das super!

mfG 20

15.11.2006, 16:17

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute der Beweis geht in die Richtung:

$\begin{eqnarray*} ||A||_2 = ||PAQ||_2 \end{eqnarray*}$

für orthogonales/unitäres P,Q. Nun ist $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ symmetrisch das heißt die die EV sind orthogonal und bilden eine Basis. Das heißt unsere P,Q hätten wir auch, man könnte für P auch I nehmen. Ich habs noch nicht probiert zu zeigen, kann mir aber vorstellen das das so Funktionieren kann.

mal sehn wann ich Zeit dafür hab.

15.11.2006, 16:35

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal, ich dachte schon, keiner hat Lust auf sowas *g*

Also du meinst, dass sich A darstellen lässt als Produkt von zwei orthogonalen Matrizen um A selbst... kann ich irgendwie nicht ganz nachvollziehen, warum das so sein soll.
Kann man als Q z.B. $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ nehmen? aber das muss man doch dann invers wieder dranmultiplizieren, oder nicht?

Ich sehe auch nicht, was mir das bringt, denn dann habe ich ja immer noch irgendwelche anderen Matrizen da stehen... Außerdem kommt da ja die Wurzel vom Eigenwert raus, wo die herkommen soll sehe ich auch nicht...

Kannst du vielleicht etwas konkreter werden bitte?

mfG 20

15.11.2006, 16:53

swerbe

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

um bei b) $\begin{eqnarray*} \kappa_2(A)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, ist es vielleicht hilfreich zu wissen, dass für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} det(A)\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} A \to \lambda_1,\lambda_2,\ldots ,\lambda_n \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} A^{-1} \to \frac{1}{\lambda_1},\frac{1}{\lambda_2}\ldots ,\frac{1}{\lambda_n} \end{eqnarray*}$
gilt ( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist EW von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ natürlich).

15.11.2006, 17:04

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe deine Aussage nicht, und hab sie glaub ich auch noch nicht gesehen, weiß also nicht, ob ich sie benutzen darf...
Was meinst du mit dem Pfeil? Ne Abbildung?
mfG 20

15.11.2006, 17:16

swerbe

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bloß nicht missverstehen.
Ich wollte damit nur andeuten, dass die Matrix n Eigenwerte besitzt und dass die Inverse von A gerade die Kehrwerte der Eigenwerte von A in der gleichen Anzahl besitzt...wenn ihr dies bisher noch nicht bewiesen habt und es nicht verwenden dürft ist es natürlich schlecht...könntest es aber ja gleich mitbeweisen und dann benutzen Augenzwinkern

Die Konditionszahl $\begin{eqnarray*} \kappa (A) \end{eqnarray*}$ einer Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wird doch in der Regel über induzierte Matrixnormen wie folgt eingeführt:

$\begin{eqnarray*} \kappa (A)=||A||\cdot||A^{-1}|| \end{eqnarray*}$

Mit obigem Sachverhalt würde sich deine Aussage also so zeigen lassen...

gruß
swerbe

15.11.2006, 18:02

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ symmetrisch, also bilden die Eigenvektoren eine Basis die sogar orthonormal/unitär ist. Diese Basen sind deine P,Q. Aber wie gesagt ich hab bisher keine Zeit gefunden das ordentlich durchzuspielen.

15.11.2006, 20:39

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

@swerbe:

du meinst also so:

$\begin{eqnarray*} \kappa (A)=||A||\cdot||A^{-1}|| = \sqrt{\lambda_{max}}\cdot \sqrt{\frac{1}{\lambda_{min}}} \end{eqnarray*}$

das erste gilt ja nach a), das zweite folgt aus deiner identität und der a).
jetzt ist nur das Problem, dass über dem ganzen ne Wurzel steht...

War das so gemeint?

@Mazze:

Wir machen diese Aufgabe in numerischer Analysis, ich bin Momentan nicht so fit, was Matrizen und Basiswechselmatrizen angeht, also kann ich leider mit deinem Ansatz nichts richtiges anfangen...

Vielen Dank schonmal euch beiden!

mfg 20

15.11.2006, 22:01

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

So also, $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch daher existiert eine orthogonale, invertierbare Matrix P $\begin{eqnarray*} PA^TAP^{-1} = D \end{eqnarray*}$ wobei D eine Diagonalmatrix ist. Mit obiger identität ist

$\begin{eqnarray*} ||A^TA||_2 = ||PA^TAP^{-1}||_2 = ||D||_2 = \sup_{} \frac{||Dx||_2}{||x||_2} = \sup \sqrt{\frac{(\lambda_1x_1)^2 + ...+ (\lambda_nx_n)^2}{<x,x>}} \end{eqnarray*}$

sei nun $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ der Betragsgrößte Eigenwert, es ist

$\begin{eqnarray*} \sup \sqrt{\frac{(\lambda_1x_1)^2 + ...+ (\lambda_nx_n)^2}{<x,x>}} \leq \sup \sqrt{\frac{(\lambda_0x_1)^2 + ...+ (\lambda_0x_n)^2}{<x,x>}} = |\lambda_0|sup \frac{<x,x>}{<x,x>} = |\lambda_0| \end{eqnarray*}$

Wenn Du jetzt ein spezielles A findest so das $\begin{eqnarray*} ||A^TA|| \geq |\lambda_0| \end{eqnarray*}$ gilt Gleichheit und damit hättest Du

$\begin{eqnarray*} ||A^TA||_2 = max\{\lambda : lambda~ist~Eigenwert~von~A^TA\} \end{eqnarray*}$

Ich denke das ist die halbe Miete zur eigentlichen Aussage. Hilfreich könnte noch sein das A und $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ die gleichen Eigenwerte haben. Dann sind nämlich die Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A^TA \end{eqnarray*}$ gleich den Eigenwerten von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ .

16.11.2006, 18:06

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, ich guck mir das später mal an, leider musste ich die übung heute morgen abgeben... die aufgabe hab ich gelassen... ich brauch die punkte sowieso nicht Augenzwinkern

mfG 20

Neue Frage »

Antworten »

Matrizen (2 Norm, s.p.d.)

Verwandte Themen