Ordnung von Elementen in endl. Gruppen

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07.11.2010, 14:19	Claudia1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung von Elementen in endl. Gruppen Hi, ich komme an folgende Übungsaufgabe überhaupt nicht ran: Es sei G eine endliche Gruppe, d.h. die Anzahl \|G\| der Elemente der Gruppe sei endlich. Unter der Ordnung ord(g) eines Elements $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ versteht man die kleinste natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} g^{n} \end{eqnarray}$ =g (kringel) ... (Kringel) g = e gilt. (n-mal g Kringel g) (a) Zeigen Sie, dass in einer endlichen Gruppe die Ordnung eines jeden Elementes endlich ist. (b) Zeigen Sie, dass für a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G die folgenden Rechenregeln gelten: ord $\begin{eqnarray} a^{-1}ba \end{eqnarray}$ = ord b ; ord ab = ord ba ; ord $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ = ord a (c) Beweisen Sie, dass im Falle von \|G\| gerade ein Element der Ordnung 2 existiert. Das liegt daran, dass ich nicht begreife, dass in ein Element aus einer endlichen Gruppe G, zB G={0, 1, 2, 3}, oft genug mit sich selbst verbunden immer das neutrale Element e ergeben kann. Das liegt wohl daran, dass ich mir für Kringel ein Mal-Zeichen denke und zB $\begin{eqnarray} 2^{n} \end{eqnarray}$ nie das neutrale Element der Multiplikation e=1 werden kann. Wie kann ich mir das korrekt anschaulich vorstellen? Bedeutet ein Element der Ordnung 2 , dass es ein g aus G gibt, so dass: g^{2} = e? Bin für alle Denkanstöße und Erklärungen dankbar! P.S.: In dieser Übungsaufgabe wurde der Begriff der Ordnung für uns erstmals eingeführt.
07.11.2010, 14:25	Mathe1232	Auf diesen Beitrag antworten »
... sieht nach Uni BT aus
07.11.2010, 14:32	Claudia1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ... erwischt Vll kannst du mir ja helfen?
07.11.2010, 14:43	Mathe1232	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ... ne sry suche das gleiche
07.11.2010, 15:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dir schon was vorstellen musst, dann stell dir eine Analoguhr mit 12 Stunden vor. Die Zahlen von 1 bis 11 und die 12=0 bilden eine additive Gruppe. Die 3 hat die Ordnung 4 und die 5 hat die Ordnung 12.
07.11.2010, 18:52	Claudia1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du bitte erläutern, warum die 3 Ordnung 4 und die 5 die ordnung 12 hat? Bedeutet ein Element der Ordnung 2 , dass es ein $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ gibt, so dass: $\begin{eqnarray} g^{2} = e \end{eqnarray}$ ?
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07.11.2010, 21:14	Claudia1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fänds toll, wenn mir jemand noch beim Verstehen der Ordnung helfen kann. Habe noch eine konkrete Frage zu Aufgabenteil c): Heißt das, dass es z.B. bei einer 8-elementigen Menge (z.B. G={0, 3, 4, 17, 22, 23, 30, 61}) ein Element existiert, so dass $\begin{eqnarray} g^{2} = e \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$
08.11.2010, 01:50	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Aufgabenteil c) besagt, dass eine endliche Gruppe mit 8 Elementen eines enthält, dass Ordnung 2 hat. Allerdings solltest du dir nochmal Gedanken über deine Gruppe machen. Nicht jede beliebige Menge ist ein Gruppe. In einer Gruppe musst du immer auch eine Abbildung haben und die Gruppe muss bezüglich dieser Abbildung abgeschlossen sein. In deinem Beispiel mit G={0,3,4,17,22,23,30,61} wüsste ich nicht wie eine solche Abbildung aussehen soll. Schon möglich, dass man sich eine definieren kann mit der es funktioniert. Aber der Einfachheit halber solltest du dir eine Gruppe aussuchen bei der du auch die Abbildung kennst.
08.11.2010, 08:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollten wir nicht der Reihenfolge folgen? Die erste Aufgabe ist zu zeigen, dass bei einer endlichen Gruppe G zu jedem $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ ein n existiert mit $\begin{eqnarray} g^n=e \end{eqnarray}$ Dazu betrachte man mal zu einem beliebigen $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} a_g :\{1,2, \dotsc, \|G\| \} \to G, a_g(n)=g^n \end{eqnarray}$ und betrachte 2 Fälle 1. $\begin{eqnarray} a_g \end{eqnarray}$ ist injektiv. 2. $\begin{eqnarray} a_g \end{eqnarray}$ ist nicht injektiv.

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