Inverse Funktion

07.11.2010, 14:33	phoenix10	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Funktion Meine Frage: Hallo. Ich hab ein Problem bei den inversen Funktionen. Folgende Angabe: Bestimmen Sie das maximale Definitionsintervall I der nachfolgenden Funktion. Überprüfen Sie, ob sie eine inverse Funktion besitzen, und berechnen Sie ggf. die: a) $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{3x+1}+1 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x-1}{x+1} \end{eqnarray}$ Wie beweist man ob die Funktion eine inverse Funktion besitzt? Meine Ideen: a) max. Definitionsintervall in den $\begin{eqnarray} \mathbb R Zahlen \end{eqnarray}$ [0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ] da x<0 eine negative Wurzel ergeben würde. Reicht das so für das max. Definitionsintervall? Oder fehlt da noch etwas? Ein Beweis od. sonstiges? Wie kann ich nun beweisen ob diese Funktion eine inverse Funktion besitzt? Da die Funktion im Definitionsbereich/intervall surjekt und injektiv ist, ist sie somit auch bijektiv. Laut meinem Skriptum ist eine bijektive Funktion auch eine inverse Funktion. Allerdings hab ich dies nur durch "anschauen" des Graphen festgestellt. Wie beweise ich so etwas rechnerisch? Die inverse Funktion für a) würde dann lauten... $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) = \frac{y^{2} - 2y }{3} \end{eqnarray}$ Nur leider fehlt mir der rechnerische Beweis für die Bijektivität. Könnte mir jemand dabei helfen? Danke im voraus! Lg
07.11.2010, 14:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{3x+1}+1 \end{eqnarray}$ Kritische Operation: Wurzel. Radikant nichtnegativ. Aber deine Definitionsmenge ist zu klein. => $\begin{eqnarray} D_f=[-\frac{1}{3},\infty[ \end{eqnarray}$ Was muss die Umkehrfunktion nun leisten? Wie sieht denn zunächst mal die Bildmenge von f aus?

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