Direktes Produkt und direkte Summe

07.11.2010, 14:36

Sarognia

Direktes Produkt und direkte Summe

Hallo!
Zu meinen Übungsaufgaben in der Uni habe ich immer eine grobe Idee im Kopf, wie ich anfangen kann, aber dann überfallen mich ganz viele Fragezeichen, was als Beweis gilt und was eigentlich so gar keine Aussagekraft hat. Deswegen wollte ich mal eure Meinung dazu hören. Bei dieser Aufgabe kommt dazu, dass ich mit "direktem Produkt" und "direkter Summe" nicht wirklich was anfangen kann, ebenso mit Indexmengen.

Hier die Aufgabe:

Es sei I eine Menge und K ein Körper. Für jedes Element i $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I sei $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass das direkte Produkt $\begin{eqnarray*} \Pi_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ durch die Verknüpfungen
$\begin{eqnarray*} (v_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} (w_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} (v_{i}+w_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (v_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} (\lambda \cdot v_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$
wieder zu einem K-Vektorraum wird. Betrachten Sie die Teilmenge
$\begin{eqnarray*} \oplus_{i \in I} V_{i} := \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} (v_{i})_{i \in I} \in \Pi_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ | Für fast alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} v_{i} = 0 \end{eqnarray*}$ } des direkten Produktes. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \oplus_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \Pi_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ ist. Er heißt die direkte Summe der K-Vektorräume $\begin{eqnarray*} V_{i}, i \in I \end{eqnarray*}$ .

Wie muss ich mir den Vektorraum vorstellen, der da konstruiert wird? Was genau ist ein direktes Produkt, und was eine direkte Summe? (die Definitionen, die ich gefunden habe: das direkte Produkt ist die Menge aller geordneten n-Tupel aus $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ . Ein Vektorraum V heißt direkte Summe zweier Untervektorräume $\begin{eqnarray*} W_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_{2} \end{eqnarray*}$ , wenn gilt: $\begin{eqnarray*} V=W_{1}+W_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_{1} \cap W_{2} = \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ .)

Ich habe angefangen, die Vektorraum-Axiome zu zeigen.
(V1) (V,+) ist abelsche Gruppe.
dazu pfüfe ich auf (G1) Assoziativität, (G2) neutrales Element, (G3) inverses Element, (G4) Kommutativität-
(G1) $\begin{eqnarray*} ((v_{i})_{i \in I} + (w_{i})_{i \in I}) + (u_{i})_{i \in I} = (v_{i} + w_{i})_{i \in I} +(u_{i})_{i \in I} = (v_{i} + w_{i} + u_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$
kann man das so machen? hat das irgendeine Aussagekraft?
Bei (G2) und (G3) argumentiere ich, dass ja $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum ist, deswegen ein neutrales bzw. inverses Element der Addition enthält und also auch das direkte Produkt diese Elemente enthält (es wird ja aus den $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ gebildet). Ähnlich für (G4).

Bei den weiteren Vektorraum-Axiomen tritt eigentlich das gleiche Problem wie bei (G1) auf. Kann ich einfach die Komponenten in Klammern zusammen ziehen, wie z.B. $\begin{eqnarray*} (\alpha+\beta)\cdot(v_{i})_{i \in I} = ((\alpha+\beta)\cdot v_{i})_{i \in I} = ((\alpha v_{i}+\beta v_{i})\cdot v_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ ?
Und welche Bedeutung haben die Indizes? $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ ist ja schon in der Vorraussetzung gegeben worden.

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \oplus_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \Pi_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ ist, prüfe ich das Unterraum-Kriterium mit (UV1) die Teilmenge ist nicht die leere Menge und (UV2) die Teilmenge ist multiplikativ und additiv abgeschlossen.

(UV1) Da für fast alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v_{i}] = 0 \end{eqnarray*}$ muss der Nullvektor Teil der Menge sein, also ist sie nicht leer.
(UV2) Seien $\begin{eqnarray*} v_{i1}, v_{i2} \end{eqnarray*}$ zwei Elemente mit $\begin{eqnarray*} v_{i} = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha v_{i1} + \beta v_{i2} = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0 \in \oplus_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ .
Allgemeiner: Für fast alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} v_{i} = 0 \end{eqnarray*}$ , also ist für fast alle $\begin{eqnarray*} i \in I \alpha v_{i1} + \beta v_{i2} = 0 \in V_{i} \end{eqnarray*}$ .

Naja, das ist meine Lösung. Mit ganz vielen Fragezeichen dran, und vorallem den letzten Teil glaube ich selbst nicht so ganz. Ich weiß aber eben auch nicht, wie es gehen soll.

Ich würde mich freuen, wenn jemand die Zeit hat, sich hier durchzuarbeiten!!

Liebe Grüße, Lina

(P.S. meine Fresse, ist Latex anstrengend!)

08.11.2010, 15:49

Reksilat

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RE: Direktes Produkt und direkte Summe

Zitat:

Original von Sarognia
Wie muss ich mir den Vektorraum vorstellen, der da konstruiert wird? Was genau ist ein direktes Produkt, und was eine direkte Summe? (die Definitionen, die ich gefunden habe: das direkte Produkt ist die Menge aller geordneten n-Tupel aus $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ .

Im Fall einer endlichen Indexmenge I stimmen direktes Produkt und Summe überein. Ist I überabzählbar unendlich groß, so kann man die Vektoren aus dem dir. Produkt nicht mehr als Tupel interpretieren. Das ganze ist erstmal ziemlich abstrakt und die Vorstellung wird aber im Laufe der Zeit noch kommen. Augenzwinkern

Für den Anfang solltest Du Dich erstmal mit dem direkten Produkt endlich vieler Vektorräume auseinandersetzen. Nimm Dir zum Beispiel $\begin{eqnarray*} V_1=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_2=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} V_1\oplus V_2=\{v\oplus w|v\in V_1,w\in V_2\} \end{eqnarray*}$ , was zunächst recht abstrakt aussieht.
Die direkte Summe zweier Vektoren, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix}3\\0\\9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , kannst Du Dir aber als 5-dimensionalen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\\9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ veranschaulichen. (Versuch auch mal, die Rechenregeln dort nachzuvollziehen.) So bastelst Du Dir aus einem 2- und einem 3-dimensionalen VR einen 5-dimensionalen VR.

Zitat:

Ich habe angefangen, die Vektorraum-Axiome zu zeigen.
(V1) (V,+) ist abelsche Gruppe.
dazu pfüfe ich auf (G1) Assoziativität, (G2) neutrales Element, (G3) inverses Element, (G4) Kommutativität-
(G1) $\begin{eqnarray*} ((v_{i})_{i \in I} + (w_{i})_{i \in I}) + (u_{i})_{i \in I} = (v_{i} + w_{i})_{i \in I} +(u_{i})_{i \in I} = (v_{i} + w_{i} + u_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$
kann man das so machen? hat das irgendeine Aussagekraft?

Es sollte heißen:
(G1) $\begin{eqnarray*} ((v_{i})_{i \in I} + (w_{i})_{i \in I}) + (u_{i})_{i \in I} = (v_{i} + w_{i})_{i \in I} +(u_{i})_{i \in I} = ((v_{i} + w_{i}) + u_{i})_{i \in I}=(v_{i} + w_{i} + u_{i})_{i \in I}=... \end{eqnarray*}$
wobei Du Dich beim letzten Schritt auf die Assoziativität in V beziehst.

Zitat:

Bei (G2) und (G3) argumentiere ich, dass ja $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum ist, deswegen ein neutrales bzw. inverses Element der Addition enthält und also auch das direkte Produkt diese Elemente enthält (es wird ja aus den $\begin{eqnarray*} V_{i} \end{eqnarray*}$ gebildet). Ähnlich für (G4).

Das neutrale Element und das Inverse zu $\begin{eqnarray*} (v_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ kannst Du konkret angeben.

Zitat:

Bei den weiteren Vektorraum-Axiomen tritt eigentlich das gleiche Problem wie bei (G1) auf. Kann ich einfach die Komponenten in Klammern zusammen ziehen, wie z.B. $\begin{eqnarray*} (\alpha+\beta)\cdot(v_{i})_{i \in I} = ((\alpha+\beta)\cdot v_{i})_{i \in I} = ((\alpha v_{i}+\beta v_{i})\cdot v_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ ?

Das " $\begin{eqnarray*} \cdot v_i \end{eqnarray*}$ " am Ende ist überflüssig.

Zitat:

(UV2) Seien $\begin{eqnarray*} v_{i1}, v_{i2} \end{eqnarray*}$ zwei Elemente mit $\begin{eqnarray*} v_{i} = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha v_{i1} + \beta v_{i2} = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0 \in \oplus_{i \in I} V_{i} \end{eqnarray*}$ .
Allgemeiner: Für fast alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} v_{i} = 0 \end{eqnarray*}$ , also ist für fast alle $\begin{eqnarray*} i \in I \alpha v_{i1} + \beta v_{i2} = 0 \in V_{i} \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe kein Wort. Nimm Dir zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_i)_{i\in I},(w_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ aus der direkten Summe. Dann gibt es ja nur endlich viele Indizes für die die Einträge nicht Null sind. Also: Es gibt eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} J\subseteq I \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} v_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in I\setminus J \end{eqnarray*}$ . Ebenso gibt es eine solche endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} K\subseteq I \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (w_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ . Konstruiere nun daraus eine solche endliche Teilmenge für den Vektor $\begin{eqnarray*} (v_i+w_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$

So, das war's fürs erste.

Gruß,
Reksilat.

09.11.2010, 18:51

Sarognia

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Na, das hört sich ja so an, als hätte ich nicht kompletten Mist geschrieben =)

vielen Dank für deine Antwort.

Zitat:

Die direkte Summe zweier Vektoren, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\oplus\begin{pmatrix}3\\0\\9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , kannst Du Dir aber als 5-dimensionalen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\3\\0\\9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ veranschaulichen. (Versuch auch mal, die Rechenregeln dort nachzuvollziehen.)

Hm. Das widerspricht jetzt der Idee, die ich von der direkten Summe hatte. Ich hab sie eher als Menge der Vektoren der Vektorräume verstanden, aus denen sie gebildet wird. Demnach weiß ich grad auch nicht, wie die Rechenregeln aussehen sollen.... $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\0\\9\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind nur Beispiele, der jeweilige Vektorraum ist viel größer, richtig?

Zitat:

Es sollte heißen: (G1) $\begin{eqnarray*} ((v_{i})_{i \in I} + (w_{i})_{i \in I}) + (u_{i})_{i \in I} = (v_{i} + w_{i})_{i \in I} +(u_{i})_{i \in I} = ((v_{i} + w_{i}) + u_{i})_{i \in I}=(v_{i} + w_{i} + u_{i})_{i \in I}=... \end{eqnarray*}$ wobei Du Dich beim letzten Schritt auf die Assoziativität in V beziehst.

ja, macht Sinn. Aber wofür stehen die Punkte am Ende? Bin ich da noch nicht fertig? Die Gegenrichtung fehlt noch, also $\begin{eqnarray*} (v_{i})_{i \in I} + ((w_{i})_{i \in I} + (u_{i})_{i \in I}) = (v_{i})_{i \in I} + (w_{i} + u_{i})_{i \in I} = (v_{i} + (w_{i} + u_{i}))_{i \in I}=(v_{i} + w_{i} + u_{i})_{i \in I}<br /> \Rightarrow ((v_{i})_{i \in I} + (w_{i})_{i \in I}) + (u_{i})_{i \in I} = (v_{i})_{i \in I} + ((w_{i})_{i \in I} + (u_{i})_{i \in I}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das neutrale Element und das Inverse zu $\begin{eqnarray*} (v_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ kannst Du konkret angeben.

also neutrales Element: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0_{1}\\...\\0_{i}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und inverses Element $\begin{eqnarray*} -(v_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Das " $\begin{eqnarray*} \cdot v_i \end{eqnarray*}$ " am Ende ist überflüssig.

Tippfehler, konnte ich aber nicht mehr editieren.

Zitat:

Nimm Dir zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_i)_{i\in I},(w_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ aus der direkten Summe. Dann gibt es ja nur endlich viele Indizes für die die Einträge nicht Null sind. Also: Es gibt eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} J\subseteq I \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} v_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in J \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in I\setminus J \end{eqnarray*}$ . Ebenso gibt es eine solche endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} K\subseteq I \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (w_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ . Konstruiere nun daraus eine solche endliche Teilmenge für den Vektor $\begin{eqnarray*} (v_i+w_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (v_i+w_i)_{i\in I\setminus J} = (u_i)_{i\in I\setminus J} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ liegt auch in $\begin{eqnarray*} \oplus_{i\in I} V_i \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ dann eines der endlich vielen Elemente ist, für die $\begin{eqnarray*} v_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist?

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