Frage zu Mächtigkeiten von Mengen

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07.11.2010, 14:47	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Mächtigkeiten von Mengen Hi, ich habe hier eine Aufgabe zu der Mächtigkeit von Mengen, die ich auch ( denke ich ) gelöst bekommen habe. Jedoch finde ich meine Argumentation nen bisschen schwammig und wollte Fragen, ob und wie ihr das anders machen würdet ? Also hier erstmal die Aufgabe: Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \times \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \simeq \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ Dabei darf () benutzt werden, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \simeq \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------- Meine Lösung ? : Wegen () kann man das $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \times \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ umschreiben in $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \times \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Denn man möchte ja nur etwas über die Mächtigkeit aussagen. Nun ist noch zu zeigen, dass eine bijektive Abbildung zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \times \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ existiert. Sei im Folgenden $\begin{eqnarray} M_N \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \times \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} a \in M_N \end{eqnarray}$ beliebig, dann ist es von der Form: $\begin{eqnarray} (a_1, a_2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1,a_2\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Fasst man nun a anschaulich als eine Koordinate in einem 2-D Koordinatensystem auf, so kann man die Menge $\begin{eqnarray} M_N \end{eqnarray}$ in Geraden zerlegen, welche durch Koordinaten wie a beschrieben werden. So kann $\begin{eqnarray} M_N \end{eqnarray}$ in eine Menge $\begin{eqnarray} M2D_N := \{(a_1,a_2) : a_1 + a_2 = i\ \forall i \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray}$ umschreiben. Das $\begin{eqnarray} M2D_N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_N \end{eqnarray}$ die 'gleiche' Menge von Tupeln beschreiben, ist anschaulich sofort ersichtlich. Nun werden aber durch jedes $\begin{eqnarray} i \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ immer nur endlich viele Tupel beschrieben. Damit hat man nun offensichtlich eine Möglichkeit gefunden die Menge $\begin{eqnarray} M_N \end{eqnarray}$ durch Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ abzuzählen. Somit folgt: $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \times \mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und mit (*) folgt die ursprüngliche Behauptung.
07.11.2010, 17:25	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \simeq \mathbb{N} \end{eqnarray}$ stimmt nicht. $\begin{eqnarray} \mathbb N ^{\mathbb N} \end{eqnarray}$ ist gleichmächtig zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen (und die ist mächtiger als $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) ! Edit: Dein Herleitung der Gleichmächtigkeit von $\begin{eqnarray} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ist richtig. Du wirst diese Aussage auch noch brauchen für deinen Beweis ...
07.11.2010, 17:35	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal Danke für deine Antwort, das beruhigt mich schonmal ein bisschen, dass meine Argumentation selber jetzt nicht totaler mist ist . Wir haben $\begin{eqnarray} N^N \end{eqnarray}$ definiert als die Anzahl der Abbildungen von N nach N. Das verwirrt mich so ein bisschen, dass die Annahme falsch sein soll, weil sie so als Hinweis auf dem HA Zettel ( klick ) steht - das ist Aufgabe 17 - .
07.11.2010, 17:43	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich bin von der selben Definition ausgegangen. Auf deinem Zettel ist offensichtlich ein Fehler. Vielleicht ist ja $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \simeq 2^\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gemeint.
07.11.2010, 17:52	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, danke
07.11.2010, 17:55	bbp	Auf diesen Beitrag antworten »
Felix du meinst $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^{\|\mathbb{N}\|} \simeq 2^{ \| \mathbb{N\|} } \end{eqnarray}$
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07.11.2010, 18:02	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das mein ich nicht. Wie soll "Menge hoch einer Mächtigkeit" überhaupt definiert sein ?
07.11.2010, 18:09	japr0	Auf diesen Beitrag antworten »
also "Menge hoch Zahl" ist doch eigentlich ein kartesisches Produkt, oder nicht ? Zum Beispiel $\begin{eqnarray} \mathbb{N}^2 \end{eqnarray}$ entspricht $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \times \mathbb{N} \end{eqnarray}$
07.11.2010, 18:14	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt schon ich hab das jetzt im Bezug auf unendliche Mengen gemeint. Und mir ist nicht klar, wie ich bbp's Notation interpretieren soll, so dass sie etwas anderes aussagt als meine Formulierung und trotzdem sinnvoll ist ...

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