jedes Epsilon einer C.F. und Wohldefiniertheit einer Folge

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07.11.2010, 15:09	schaefer	Auf diesen Beitrag antworten »
jedes Epsilon einer C.F. und Wohldefiniertheit einer Folge Meine Frage: 1. Ich soll für die Folge $\begin{eqnarray} a_n=\frac{2}{n^2+1} \end{eqnarray}$ zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ ein n_0 element \|N finden, so dass $\begin{eqnarray} \left\|a_n-a_m\right\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m,n>=n_o \end{eqnarray}$ ist. 2. c ist weder 0 noch -1 Ich soll zeigen dass alle Glieder der Folge: $\begin{eqnarray} a_1:=c \qquad a_{n+1}:=-\frac{1}{1+a_n} \end{eqnarray}$ wohldefiniert sind (später auch noch, ob sie konvergent ist). Meine Ideen: 1. Also zuerst habe ich mir gedacht, ich sage einfach: Mit anderen Worten muss ich zeigen, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist. Da jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist, reicht es also zu zeigen, dass die Folge konvergent ist. Das hab ich getan (Grenzwert 0). Dann wurde ich aber darauf hingewiesen, dass ich damit nur gezeigt habe, dass es derartige n_0 gibt. Ich muss aber eines für jedes Epsilon finden. Um das zu machen, habe ich versucht, den Betrag "Folge - Grenzwert", was ja kleiner Epsilon sein muss zu betrachten und intelligent zu erweitern. Aber ich komm einfach nicht auf eine Ansatz, wo ich am Schluss irgendwas über jedes Epsilon sage. Könnt ihr mir einen Anstoss geben? 2. Hier bin ich nach Ewigkeiten auf die Idee gekommen, dass wohldefiniert wohl heißt, dass ich nie durch 0 teile. Also hab ich mal die ersten Folgenglieder angeschaut und habe gesehen, dass immer folgendes im Nenner stand: c 1/c 1/(1+c) Dann habe ich gezeigt, dass diese nie Null werden können, weil die entsprechenden Werte oben ausgeschlossen wurden. Reicht das aus?
07.11.2010, 16:55	Ravenlord	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2.: Du hast nur gezeigt, dass die ersten Folgenglieder wohldefiniert sind. Das sollte dir weiterhelfen: $\begin{eqnarray} a_{1} = c<br /> a_{2} = - \frac {1}{1+c}<br /> <br /> a_{3} = - \frac {1}{1- \frac {1}{1+c}} = - \frac {1+c}{c}<br /> <br /> a_{4} = - \frac {1}{1 - \frac {1+c}{c}} = - \frac {c}{-1}<br /> <br /> a_{5} = - \frac {1}{1 - \frac {c}{-1}} = \frac {1}{-1-c}<br /> <br /> a_{6} = - \frac {1}{1 + \frac {1}{-1-c}} = - \frac {-1-c}{-c}<br /> <br /> a_{7} = - \frac {1}{1- \frac {-1-c}{-c}} = c \end{eqnarray}$
07.11.2010, 17:06	schaefer2	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, suuuuuper! Das heißt "es geht wieder von vorne los" und weil bis dato alle wohldefiniert sind, sind alle wohl definiert. Damit hat sich die Konvergenz von ganz allein erledigt! Vielen vielen Dank! Und ich habe dazu gelernt: Einfach mal so lange die Folgen ausrechnen, bis was tolles passiert. DANKE! Damit hab ich noch genug Zeit, mich an der anderen Aufgabe auszubeißen. g
07.11.2010, 17:43	schaefer3	Auf diesen Beitrag antworten »
bääääm, ich hab nen lösungsansatz für den ersten!! es muss ja gelten: $\begin{eqnarray} a_n<\epsilon mit \epsilon>0 für alle n_o E \|N \end{eqnarray}$ Also setze ich an, weil m größer als n sein muss: $\begin{eqnarray} \frac{2}{n^2+1}-\frac{2}{(n+1)^1+1<0 < \br><br /> ...<br /> \frac{2}{n^2+1}<\frac{2}{n^2+2n+2} \end{eqnarray}$ und das ist ja logischerweise korrekt! hab ich recht, hab ich recht? inständig hoff...
07.11.2010, 17:48	schaefer4	Auf diesen Beitrag antworten »
noch ein versuch: bääääm, ich hab nen lösungsansatz für den ersten!! es muss ja gelten: $\begin{eqnarray} a_n<\epsilon \qquad mit \qquad \epsilon>0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n_o \end{eqnarray}$ E \|N Also setze ich an, weil m größer als n sein muss: $\begin{eqnarray} \frac {2}{n^2+1} - \frac {2}{(n+1)^1+1} <0<br /> ...<br /> \frac {2}{n^2+1} < \frac {2}{n^2+2n+2} \end{eqnarray}$ und das ist ja logischerweise korrekt! hab ich recht, hab ich recht? inständig hoff...
07.11.2010, 17:49	Mathe1232	Auf diesen Beitrag antworten »
... dein Ansatz ist nicht lesbar!
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08.11.2010, 23:14	scaefer	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ... achja, falls jemand diesen thread noch lesen sollte und dieselbe aufgabe hat: in der aufreihung obe der einzelnen folgenglieder wird schon, wenn man noch zu ende gekürzt hat bei a_4 die folge wieder c.
08.11.2010, 23:16	scorpio	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ... Ist dieser Ansatz richtig?
08.11.2010, 23:23	schaefer	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ... der von ravenlord? ja, denk schon^^ also man muss dann eben schauen ob die drei einzelnen folgenglieder, die vorkommen können wohldefiniert sind und das hängt von deiner definition von c ab die konvergenz sollte nicht vorhanden sein, ist ja ne periodische funktion aber das kann man wahrscheinlich durch nen widerspruchsbeweis mit \epsilon beweisen falls du die andere aufgabe meintest: da ist meiner wahrscheinlich falsch^^
08.11.2010, 23:24	schafer22	Auf diesen Beitrag antworten »
musst du es auch morgen abgeben?
08.11.2010, 23:36	scorpio	Auf diesen Beitrag antworten »
soweit ich es erkennen kann ist es nicht korrekt denn der Nenner vergrössert sich und somit wird der Term kleiner also ist diese Aussage falsch. Aber ich komme nicht auf den Ansatz für die Aufgabe
08.11.2010, 23:36	scorpio	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau muss es auch morgen abgeben hehehe

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