Gleiche Funktion, unterschiedliches Integral?

07.11.2010, 15:29

Silentium92

Gleiche Funktion, unterschiedliches Integral?

Meine Frage:
Warum erhalte ich nach Derive bei diesem Fall:
[attach]16535[/attach]
zwei unterschiedliche Stammfunktionen, obwohl es sich um dieselbe Funktion handelt, halt rechts nur die binomische Formel aufgelöst?!

Meine Ideen:
Keine Ideen, müsste ja eigentlich auf das gleiche rauskommen ?!

EDIT von Calvin
Bilder bitte direkt im Board hochladen. Danke

07.11.2010, 15:33

Calvin

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Was genau die Ausgaben sagen sollen, ist mir nicht klar. Aber ich kann dir sagen, dass es keine eindeutige Stammfunktion gibt. Es gibt unendlich viele, die sich nur durch eine additive Konstante unterscheiden.

Beispiel:

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} F_1(x)=x^2, F_2(x)=x^2+1, F_3(x)=x^2-35 \end{eqnarray*}$ sind alles Stammfunktionen von $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 17:21

Silentium922

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Ja, soviel ist mir auch klar. Die Zeile 1 gibt links die Ausgangsgleichung an, rechts wie ich sie korrekt umgeformt habe (Zeile 2 bestätigt das)...

Lass ich aber dann das unbestimmte Integral mit Derive bestimmen, errechnet er zwei verschiedene Stammfunktionen (zeile 3), die beim einsetzen der gleichen Werte für a und x aber unterschiedliche Lösungen ergeben, (zeile 4), und das kann ja eigentlich nicht sein. (Denn die Konstante ist für das Integral ja völlig egal, die gibt ja quasi nur die Verschiebung auf der y-achse der Stammfunktion an, und die ist ja 0)

07.11.2010, 18:06

Calvin

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Du hast zwei Stammfunktionen

$\begin{eqnarray*} F_1(x)=\frac{(x+a)^3}{ax^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x)=\frac{3x^2+3ax+a^2}{x^3} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Funktionen sind nicht identisch. Sie unterscheiden sich durch die additive Konstante $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Deshalb kommt auch was anderes raus, obwohl du für a und x gleiche Werte einsetzt.

10.11.2010, 12:32

aleph_math

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Zitat:

Original von Calvin
Du hast zwei Stammfunktionen

$\begin{eqnarray*} F_1(x)=\frac{(x+a)^3}{ax^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x)=\frac{3x^2+3ax+a^2}{x^3} \end{eqnarray*}$
...

Die Probe für ein Integral ist immer, es zu differenz., dann muß die urspr. Funkt. herauskommen.
Tja, u. wenn man das mit F1 & F2 macht, erhält man genau dieselbe(!) Ausg.funkt. f(x). F1 & F2 sind also richtig, auch wenn sie verschied. aussehen (u. auch sind, s.ob.).

Das sind die kl. Überrasch., die man mit Mathe so erleben kann.. smile

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