Gemeinsame Dichte Stetiger und Diskreter ZV

07.11.2010, 16:02

Black

Gemeinsame Dichte Stetiger und Diskreter ZV

Gegeben sind unabhängig ZV X,Y mit folgenden Verteilungen:
[attach]16533[/attach] A,B Borelmengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Mittels Faltung ist nachzuweisen, dass X+Y stetig verteilt ist mit Dichte
[attach]16534[/attach]

Ich hab folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} P_{X+Y} (B)= \int_{\mathbb R} \! P_X (B-y) \, dP_Y(y)=\int_{\mathbb R} \! \sum\limits_{i=1}^\infty p_i \cdot \epsilon_{x_i} (B-y) \cdot \varphi (y) \, dy \end{eqnarray*}$

Soweit, sollte eigentlich noch alles richtig sein.

Nun kann ich doch die Summe zum Teil vor das Integral ziehen, also

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \! \sum\limits_{i=1}^\infty p_i \cdot \epsilon_{x_i} (B-y) \cdot \varphi (y) \, dy = \sum\limits_{i=1}^\infty p_i \cdot \int_{\mathbb R} \! \epsilon_{x_i} (B-y) \cdot \varphi (y) \, dy \end{eqnarray*}$ (oder ist das schon falsch?)

Das sieht der gesuchten Darstellung jetzt schon ziemlich ähnlich, aber um zur Lösung zu kommen, müsste ich dann irgendwie zu

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \! \epsilon_{x_i} (B-y) \cdot \varphi (y) \, dy= \varphi (z-x_i) \end{eqnarray*}$ kommen.

Darf ich das Integral derart umschreiben:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \! \epsilon_{x_i} (B-y) \cdot \varphi (y) \, dy=\int_{\mathbb R} \! \epsilon_{y} (B-x_i) \cdot \varphi (y) \, dy=\int_{B-x_i} \!\ \varphi (y) \, dy \end{eqnarray*}$

Wär klasse wenn mir jemand sagen kann ob meine Umformungen so richtig sind, bzw. ab wann nicht mehr, und wie ich von $\begin{eqnarray*} \int_{B-x_i} \!\ \varphi (y) \, dy \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \varphi (z-x_i) \end{eqnarray*}$ komme (falls das nicht alles schon Mist ist unglücklich

)

Was mich auch stört, ist dass im Ergebnis ja ein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ vorkommt, ich da aber ne Borelmenge stehen hab Tanzen

07.11.2010, 16:13

René Gruber

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Ich hätte es von vornherein andersherum angepackt (X statt Y):

$\begin{eqnarray*} P_{X+Y} (B)= \int_{\mathbb R} \! P_Y (B-x) \, dP_X(x) = \sum_{i=1}^{\infty} p_i \int_{\mathbb R} \! P_Y (B-x) \, d\epsilon_{x_i}(x) = \sum_{i=1}^{\infty} p_i P_Y (B-x_i) \end{eqnarray*}$

dann steht's doch praktisch schon da.

07.11.2010, 16:21

Black

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Oh ja, so wär das eindeutig geschickter gewesen Big Laugh

Aber unabhängig davon, stimmen meine Rechnungen?

Was ich bei deinem Ansatz nicht verstehe, ist

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \! P_Y (B-x) \, d\epsilon_{x_i}(x) = P_Y (B-x_i) \end{eqnarray*}$

und wie kommt man dann von $\begin{eqnarray*} P_y \end{eqnarray*}$ wieder zu $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , und wie kommt man von der Borelmenge zu einem einfach z aus R?

07.11.2010, 16:29

René Gruber

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Nun, es ist ja

$\begin{eqnarray*} P_Y(B-x_i) = \int 1_{B-x_i}(y)\varphi(y) ~ \dd y = \int 1_B(y+x_i)\varphi(y) ~ \dd y = \int 1_B(z)\varphi(z-x_i) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

mit der linearen Substitution $\begin{eqnarray*} z=y+x_i \end{eqnarray*}$ .

07.11.2010, 16:41

Black

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Okay, heißt das dass dann $\begin{eqnarray*} \int 1_B(z)\varphi(z-x_i) ~ \dd z = \int_B \varphi(z-x_i) ~ \dd z=\varphi(z-x_i) \end{eqnarray*}$ ? Aber das kann ja eigentlich nicht sein, dass das Integral über einer beliebigen Borelmenge immer gleich ist? Und mit der Substitution wäre ja dann $\begin{eqnarray*} \varphi(z-x_i)= \varphi(y) \end{eqnarray*}$ und die xi wären ganz weg?

Sorry dass ich so dumm fragen muss, aber uns wurde der ganze Mist an den Kopf geknallt ohne dass uns das irgendwer mal vorgerechnet hat böse

07.11.2010, 16:44

René Gruber

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Das erste = stimmt (ist ja die Definition), das zweite natürlich nicht! Wozu auch?

$\begin{eqnarray*} P_Z(B) = \int_B f(z) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

ist doch (nach Radon-Nikodym) gleichbedeutend damit, dass $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ stetig verteilt ist und die Dichte (bis auf eine Lebesegue-Nullmenge) identisch mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

07.11.2010, 16:50

Black

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Mein Problem ist, wie ich von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} p_i P_Y (B-x_i) \end{eqnarray*}$ zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty p_i \varphi(z-x_i) \end{eqnarray*}$ komme

07.11.2010, 16:57

René Gruber

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Warum setzt du nicht einfach

Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} P_Y(B-x_i) = \int 1_{B-x_i}(y)\varphi(y) ~ \dd y = \int 1_B(y+x_i)\varphi(y) ~ \dd y = \int 1_B(z)\varphi(z-x_i) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} P_{X+Y} (B)= \int_{\mathbb R} \! P_Y (B-x) \, dP_X(x) = \sum_{i=1}^{\infty} p_i \int_{\mathbb R} \! P_Y (B-x) \, d\epsilon_{x_i}(x) = \sum_{i=1}^{\infty} p_i P_Y (B-x_i) \end{eqnarray*}$

ein:

$\begin{eqnarray*} P_{X+Y} (B) = \sum_{i=1}^{\infty} p_i \int 1_B(z)\varphi(z-x_i) ~ \dd z = \int 1_B(z) \cdot \underbrace{\sum_{i=1}^{\infty} p_i\varphi(z-x_i)}_{= f_{X+Y}(z)} ~ \dd z \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 17:03

Black

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Okay, es hat klick gemacht smile

Danke dir, wenn das so weiter geht muss ich dir mal noch ne Kiste Bier zukommen lassen, so oft wie du mir dieses WE schon aus der Klemme geholfen hast Big Laugh

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