Köln: Unterkörper

07.11.2010, 16:13

LoBi

Köln: Unterkörper

Seien $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1}, \mathbb K_{2} \subset \mathbb K \end{eqnarray*}$ Zwei Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass der Schnitt
$\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cap \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ auch ein Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ist. Was ist mit der Vereinigung $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ ?

Ich muss also zu zeigen das für $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cap \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ gilt:

a) $\begin{eqnarray*} 0, 1 \in \mathbb K_{1} \cap \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} x-y \in \mathbb K_{1} \cap \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} x * y^{-1} \in \mathbb K_{1} \cap \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

zu a) $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1}, \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ sind beides Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ sie enthalten also beide das additive/multiplkative neutrale Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ .
Für den Schnitt gilt $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb K_{1} \cap \mathbb K_{2} \Rightarrow x \in \mathbb K_{1} \wedge x \in \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ . Also sind $\begin{eqnarray*} 0,1 \in \mathbb K_{1} \cap \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

Ist das so erstmal richtig ?
wie verfahre ich bei b und c?

07.11.2010, 16:18

kiste

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Stimmt, b und c gehen analog

10.11.2010, 15:08

LoBi

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Bin nun beim 2. Teil der Aufgabe angelangt:
Ist $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ ein Unterkörper von K
Ich muss also wieder a bis c nachprüfen.

a) Ist Klar da $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ sind, sind 1 und 0 auch in der Vereinigung enthalten.

So und bei b) und c) hab ich jetzt folgendes Problem:
Wenn ich jetz 2 Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ wähle gilt ja das das Element entweder aus $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \end{eqnarray*}$ oder aus $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ stammen. Sind die 2 Elemente aus dem selben Unterkörper gilt b) c) ja.
Doch was ist wenn ich ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \end{eqnarray*}$ hab und eins aus $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ Dann kann ich doch gar nicht sagen ob k1-k2 Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ ist.
Hab ich dann ein Widerspruch gefunden das $\begin{eqnarray*} \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ ein Unterkörper von K ist?

10.11.2010, 15:10

kiste

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Du hast das Problem erkannt, jetzt musst du nur noch es direkt ausformulieren und einen Widerspruch finden smile

(Jedenfalls unter der Annahme dass $\begin{eqnarray*} \mathbb K_1 \subseteq \mathbb K_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb K_2 \subseteq \mathbb K_1 \end{eqnarray*}$ nicht gilt)

10.11.2010, 15:28

LoBi

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Würde da jetzt so ne Art Fallunterscheidung machen:

also Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in \mathbb K_{1} \vee x \in \mathbb K_{2} , y \in \mathbb K_{1} \vee y \in \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

Betrachte den Fall: $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb K_{1} \wedge y \in \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

Da bin ich mir jetz unsicher:
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb K_{1} \wedge y \in \mathbb K_{2} \Rightarrow x-y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \vee x-y \not\in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ Daraus folgt dann der Widerspruch. Ich kann nicht sagen ob $\begin{eqnarray*} x-y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

10.11.2010, 15:33

kiste

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Nein so nicht. Aber du kannst doch einmal annehmen dass $\begin{eqnarray*} x-y\in \mathbb K_1 \cup \mathbb K_2 \end{eqnarray*}$ liegt. Folgere dann weiter und führe dies auf einen Widerspruch.

10.11.2010, 15:46

LoBi

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Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$
Angenommen: $\begin{eqnarray*} x-y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \Rightarrow x-y \in \mathbb K_{1} \vee x-y \in \mathbb K_{2} \Rightarrow x,y \in \mathbb K_{1} \vee x,y \in \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

Es gilt aber:
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb K_{1} \vee x \in \mathbb K_{2} , y \in \mathbb K_{1} \vee x \in \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$
Also habe ich hier einen Widerspruch

Ich hoffe so klappt's jetz smile

10.11.2010, 15:54

kiste

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Zitat:

Original von LoBiEs gilt aber:
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb K_{1} \vee x \in \mathbb K_{2} , y \in \mathbb K_{1} \vee x \in \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

Nein du musst schon deine stärkere Annahme von vorhin benutzen, dass ohne Einschränkung $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb K_1\land y\in \mathbb K_2 \end{eqnarray*}$ benutzen. Damit du auch wirklich einen Widerspruch findest, musst du sogar fordern dass $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb K_1\setminus \mathbb K_2 \land y\in \mathbb K_2\setminus \mathbb K_1 \end{eqnarray*}$ gilt

10.11.2010, 16:53

LoBi

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Klar, dann müsste es aber so jetz passen, hoffe ich :

Wähle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb K_1\setminus \mathbb K_2 \land y\in \mathbb K_2\setminus \mathbb K_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb K_1\setminus \mathbb K_2 \land y\in \mathbb K_2\setminus \mathbb K_1 \Rightarrow x\in \mathbb K_1\wedge x \not\in \mathbb K_2 \land y\in \mathbb K_2\wedge x \not\in \mathbb K_1 \end{eqnarray*}$ (***)

Angenommen: $\begin{eqnarray*} x-y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-y \in \mathbb K_{1} \cup \mathbb K_{2} \Rightarrow x-y \in \mathbb K_{1} \vee x-y \in \mathbb K_{2} \Rightarrow x,y \in \mathbb K_{1} \vee x,y \in \mathbb K_{2} \end{eqnarray*}$

Es gilt aber:
(***)
Also habe ich hier einen Widerspruch

Vielen Dank schonmal

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