Abbildung und Relation: Unklarheit

07.11.2010, 16:17	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung und Relation: Unklarheit Elo, folgende Aufgabe verstehe ich nicht ganz: Sei f : A --> B eine Abbildung zwischen zwei Mengen A und B. Zeigen Sie, dass die durch Knödel := {(x, y) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A × A : f(x) = f(y)} definierte Relation Knödel eine Aquivalenzrelation ist. Ich versteh die Menge Knödel nicht ganz -_-. Sie besteht laut definition aus allen geordneten Paaren (x,y) die aus dem Kreuzprodukt von A hervorgehen und außerdem noch die Eigenschaft f(x)=f(y) erfüllen. Nur was ist jetzt dieses f(x)=f(y)? Die Abbildung hat ja keine Zuordnungsvorschrifst definiert, nur dass sie A auf B abbildet.
07.11.2010, 16:20	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung und Relation: Unklarheit Die Behauptung gilt eben für alle f : A --> B. (Deshalb muss man nicht wissen, wie f abbildet.)
07.11.2010, 16:28	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du das vielleicht etwas genauer erklären? Ich blicke da noch nicht ganz durch. Wenn das für alle f: A --> B gilt, muss mich also davon ausgehen, dass die Menge für eine jede beliebige Zuordnungsvorschrift erfüllt ist. Dann noch was, diese f(y). Ist y element von A? Normalerweise ist y=f(x).
07.11.2010, 16:46	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, y ist sozusagen ein zweites «x». Denke dir «verschiedenfarbige» Elemente von B. z sei z.B. rot und male alle Elemente in A rot an, deren Bild z ist. Dann machst du das mit einem anderen, grünen z in B. Du bekommst so in A Teilmengen je einer Farbe, die paarweise immer leeren Durchschnitt haben und die vereinigt ganz A ausmachen. Das sind die Aequivalenzklassen. Genau die gleichfarbigen Elemente (in A) stehen in Relation.
07.11.2010, 18:23	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
So habe jetzt mal etwas nachgedacht und bin zum zum Schluss gekommen, dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrealtion handelt. Die Relation "Knödel" erfüllt nämlich die Eigenschaften der Transitivität, Symmetrie und Reflexivität (Ich habe auch noch auf Antisymmetrie geprüft, und diese traf auf diese Relation nicht zu). Transitivität: Wenn ich ein Tupel (a,b) mit a, b aus A habe, dann erfüllt dieses also f(a)=f(b). Demnach zeigen die Elemente a und b aus A auf das gleiche Element in B. Es läßt sich auch ein Tupel (b, c) finden mit c aus A, welches die Relation f(b)=f(c) erfüllt (Davon müssen wir denke ich mal ausgehen). Demnach zeigt auch c auf dasselbe Element in B, wie a und b. Folglich ist das Tupel (a,c) auch in der Relation "Knödel", da es f(a) = f(c) erfüllt. Reflexivität: Aus der Definition der Relation "Knödel" geht hervor, dass Tupel (a,a) existieren, die die Relation erfüllen. Laut Definition ist "Knödel" eine Relation auf A und die Tupel (a,a) erfüllen f(a)=f(a). (Ich wollte hier auf A kreuz A hinaus) Symmetrie: Wenn ein Tupel (a,b) existiert, dann erfüllt es f(a)=f(b). Demnach existiert auch ein Tupel (b,a), da "Knödel" Relation auf A und f(b)=f(a). Was sagt ihr dazu? Stimmt das soweit und wie könnte man das etwas formaler darstellen?
07.11.2010, 18:50	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur zweiten Frage: Sollte ich das noch formaler darstellen?
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