2. Isomorphiesatz [Bosch]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
2. Isomorphiesatz [Bosch]
So, hier bin ich wieder. Es geht um den 2. Isomorphisatz. Bosch bei google books


Im Beweis komme ich nicht klar, wie Satz 6 [Seite 18] verwendet wird. Also was ist hier ? Teilziel ist es zu zeigen, dass H/N Untergruppe von G/N ist.

Vielen Dank.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Phi ist die Komposition zwischen der Einbettung von H in G und der Projektion von G auf G/N.
Phi Strich ergibt sich dann aus dem Homomorphiesatz
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Diagramm hätte ich dann oben(links) statt [G -> G']

mit

von der Abbildung weiß ich, dass der Kern ist. Wegen , ist auch der Kern von . Korrekt?

Was übernimmt nun die Rolle von G/N (unten) im Diagramm?



und die Abbildung in Satz 6 ist hier wieder die kanonische auf die Restklassen? Benutze ich da nicht schon, dass N Normalteiler in H ist, was ich ja noch nicht gezeigt habe?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tatsache dass N Normalteiler von H ist, ist trivial. Die Bedingung für Normalteiler sagt doch gerade . Normalteiler in H heißt ja nur dass der für alle-Quantor über weniger Elemente gebildet wird.

Die Rolle von G/N übernimmt tatsächlich H/N, die Rolle von G' wird durch G/N übernommen.

Alle Abbildungen hier müssen kanonisch sein, du hast einfach zu wenig Information um eine nicht-kanonische zu wählen. Typisch Homologie: Entweder trivial oder falsch Big Laugh
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wenn man drüber nachdenkt ist das trivial. Ich starre so verbissen auf diesen ersten Satz im Beweis... Und oft steht in Beweisen ja zumindest der (aufbauende Big Laugh ) Satzteil "blabla ist trivial, weiter geht es" drin. Daher habe ich hier erst mal gestoppt. Augenzwinkern Nun versuche ich mich weiter daran. Bis später.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Letzte Frage zum ersten Satz im Beweis. "so dass wir H/N mit seinem Bild in G/N identifizieren können".

Da man noch nicht weiß, dass H/N Untergruppe von G/N benutzt man Satz 6 um die eind. Existenz eines G-Hom zwischen H/N und G/N zu bekommen. Als Abbildung wählt/Die Abbildung ist die Einbettung (?) Dann weiß man aber schon, dass die Elemente von H/N auch in G/N liegen [Teilmenge]. Die Untergruppe bekommt man nun schön über den Satz, dass das Bild UG der Zielmenge ist.

Hätte man das auch anders nachweisen können? Über Untergruppenaxiome oder geht es hier nur über Satz 6?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich hätte man das auch elementar rechnen können. Aber Algebraiker sind nunmal faule Menschen ;-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde ein mir sympathischer Wesenszug. Nur da ich diese Sätze noch nicht verinnerlicht habe, wäre faul bei mir "elementar" gewesen. Big Laugh

Kommen wir zum nächsten Abschnitt des Beweises. Ich will mir wieder das zu Satz 6 äquivalente Schaubild malen.







Da so viele kanonische kommen, schreibe ich es mal mit Index.

,

,

Aus der Angabe wissen wir und . Somit können wir nun Satz 6 anwenden, und es gibt einen eindeutig bestimmten G-Hom von G/N nach G/H. Nun ist N echte Teilmenge von H (), so dass dieser G-Hom nicht injektiv ist.

Die kan. Projektionen sind surjektiv. Daher ist also surjektiv. Weil das Diagramm nun kommutiert, muss auch surjektiv sein. Korrekt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Nun ist N echte Teilmenge von H (), so dass dieser G-Hom nicht injektiv ist.

Unnötig. Insbesondere kann auch N=H gelten. Es kann sogar N=H=G gelten Augenzwinkern

Zitat:

Wie kommst du den auf diese Gleichheit?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage. Falsch auf den Zettel geschaut. Hatte ja erst geschrieben. Forum Kloppe Neuer Versuch.

Zitat:
Die kan. Projektionen sind surjektiv. Daher ist also surjektiv. Weil das Diagramm nun kommutiert, muss auch surjektiv sein. Korrekt?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Passt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, damit hat sich Epimorphismus auch geklärt. Die Sätze haben dort für mich noch zu viel Information. Daher stotter ich so rum Ups Also weiter in dem Satz.

Wir haben nun . Der Kern ist nach Satz 6 .

Nun ist der Kern sicher eine Untergruppe der "Urbildgruppe", also , er ist aber auch immer ein Normalteiler, also .

Zitat:
...und mit dem Bild von H unter der Projektion G->G/N übereinstimmt.


Das ist ja nur das, was ich schon aus Satz 6 abgeschrieben hatte. Also , oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schön. Nun ist man so optimistisch, dass ich mich an den vorvorherigen Satz erinnere. Big Laugh

Also, was weiß ich über ? Wir hatten H in G eingebettet und festgestellt, oder?

Nun wieder Satz 6. Aber wieder neue Rollen:

oben:







Nun wissen wir, dass surjektiv ist. Korollar 7 sagt dann, dass der nach Satz 6 eind. existierene G-Hom zwischen (G/N)/(H/N) und G/H ein Isomorphismus ist. Und das galt es ja noch zu zeigen.

Richtig? Erstaunt2
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein phi ist nicht eine Projektion, sondern der Homomorphismus den wir mit dem Homomorphiesatz zuvor konstruiert haben
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Forum Kloppe Schon wieder den gleichen Fehler, diesmal als Copy, gemacht. ist im neuen und letzten Bild aus dem vorherigen Bild.

Wenn ich das austausche, passt es dann?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Dann hab ich die 3 Sätze ja in der Theorie endlich mal durch. Mit Zunge

War irgendein Algebraiker mal so verrückt, sich je ein Beispiel auszudenken? Augenzwinkern
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