Äquivalenzrelation auf RxR

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07.11.2010, 17:08	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation auf RxR Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen und verstehe nicht ganz, was ich nun tun soll: Für $\begin{eqnarray} \left(x,z\right),\left(a,b\right) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \left(x,z\right) ~ \left(a,b\right) :\Leftarrow \Rightarrow x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray}$ Zeige, dass ~ eine Äquivalnzrelation auf $\begin{eqnarray} R^2 \end{eqnarray}$ ist. Was ist die Äquivalenzklasse [(x,z)] eines Punktes? Gibt es eine Bijektion des Quotienten $\begin{eqnarray} R^2/ \end{eqnarray}$ ~ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R _+ = \left\{ r \in \mathbb R \| r \geq 0 \right\} \end{eqnarray}$ (Welche Zahl r >= 0 lässt sich sinnvollerweise [(x,z)] zuoprdnen? Die Äquivalenzrelation konnte ich zeigen. Genauso die Klasse. Nun verstehe ich den Rest der Aufgabe nicht. Sinnvollerweise liesse sich meiner Meinung nach [(x,y)] x^2 + z^2 zuordnen. Aber eine Bijektion sehe ich da nicht. Ich kann doch aus diesem Term nicht mehr zurück auf den Punkt (x,y) kommen. Ich vermute, ich verstehe da etwas grundlegend falsch. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar
07.11.2010, 17:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst eine Bijketion zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb R^2/\sim \end{eqnarray}$ (also die Menge der Äquivalenzklassen) und $\begin{eqnarray} \mathbb R_+ \end{eqnarray}$ angeben. D.h. du musst aus $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ nicht mehr auf den Punkt schließen können, sondern nur au die Äquivalenzklasse. Und das ist offensichtlich möglich.
07.11.2010, 17:33	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal an einem Beispiel: Die Äquivalenzklasse [(3,2)] enthält beispielsweise (3,2),(2,3), (-2,3),(-2,-3),... Deren Repräsentant aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ wäre dann nach meinem Verständnis 13. Kann man daraus wieder auf die Äquivalenzklasse schliessen? Irgendwie verstehe ich das einfach nicht.
07.11.2010, 17:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist aber eine schöne Aufgabe Versuche dir die Gleichung doch einmal geometrisch vorzustellen. Was wird durch x^2+y^2=r für ein Objekt beschrieben?
07.11.2010, 18:38	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nicht völlig irre, liegen alle Punkte der Äquivalenzklasse auf einem Kreis. Dann wäre $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2 + y^2} = r \end{eqnarray}$ . Der Radius kann also stellvertretend für alle Punkte auf dem Kreis angegeben werden. Ist das soweit richtig?
07.11.2010, 19:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt genau
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07.11.2010, 20:00	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ die Lösung auf die gestellte Frage. Ich kann aber nicht, wie ich das gedacht habe einen Punkt auf dem Kreis aus r wieder re-konstruieren. Sondern ich kann den Kreis sowohl aus den Punkten, als auch aus dem Radius konstruieren (oder einfacher "zeichnen"). Das ist dann auch eine Bijektion? Völlig klar ist mir z.B.: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^+ \longrightarrow \mathbb R^+, x \longmapsto x^2 \end{eqnarray}$ ist bijektiv weil umkehrbar also: $\begin{eqnarray} f^-1: \mathbb R^+ \longrightarrow \mathbb R^+, \sqrt{x^2} \longmapsto x \end{eqnarray}$ (Ich weiß nicht, ob das so korrekt formuliert ist, aber man erkennt, was ich sagen will... hoffe ich ) Könnte jemand die Bijektion in dieser Situation hier nochmal erklären/formulieren, um das für mich greifbar zu machen?
07.11.2010, 21:49	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier sieht die Abbildung so aus: Kreis mit Radius r \|-> r denn die Äquivalenzklassen sind gerade Kreise. Die Umkehrabbildung ist dann natürlich: r \|-> Kreis mit Radius r
08.11.2010, 16:57	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Super. Vielen Dank für die Hilfe.

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