Indexmengen

07.11.2010, 17:34

sunnygirl26

Indexmengen

Meine Frage:
Ich habe ein riesen Problem und zwra komme ich mit dieser ganzen Mengenlehre schon nicht richtig klar da beweise in formeln zu definieren aber jetzt hab ich eine Aufgabe mit einer indexmenge

$\begin{eqnarray*} I:=\mathbb N ; Mi:=\left\{ k?Z/-i<k<i\right\} \end{eqnarray*}$ für alle i?I

und jetzt soll ich $\begin{eqnarray*} \cup (i?I)Mi \end{eqnarray*}$ und [latex]\cap (i?I)Mi[latex] bestimmen

hab aber keine ahnung wie....

Meine Ideen:
meine idee wäre jetzt fr die vereinigung N und als schnittmenge1 also die vereinigung fänd ich ja noch irgendwo logisch aber die eins hab ich mir aus ner anderen aufgabe geholt die so ähnlich war

bitte um schnelle hilfe

mit viele grüßen
verzweifelden sandra

07.11.2010, 18:20

system-agent

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Dann schau dir doch mal die Mengen für kleine $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ an:
$\begin{eqnarray*} M_1=\{k\in\mathbb Z\quad:\quad -1<k<1\}=\{0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_2=\{k\in\mathbb Z\quad:\quad -2<k<2\}=\{0,\pm1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_3=\{k\in\mathbb Z\quad:\quad -3<k<3\}=\{0,\pm1,\pm2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_4=\{k\in\mathbb Z\quad:\quad -4<k<4\}=\{0,\pm1,\pm2,\pm3\} \end{eqnarray*}$ .

Vermutung?

Übrigens noch etwas für die Symbole in LaTeX:

code:
1:	M_{1}=\{k\in\mathbb Z\quad:\quad -1<k<1\}

ergibt das was ich für $\begin{eqnarray*} M_1 \end{eqnarray*}$ geschrieben habe. Ausserdem kannst du

code:
1:	\bigcup\limits_{i\in\mathbb N}M_{i}

nutzen, das ergibt $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i\in\mathbb N}M_{i} \end{eqnarray*}$ .

09.11.2010, 09:12

sunnygirl26

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J a dann würde ich sagen die vereinigung ist Z und die schnittmenge ist {0}
weil wenn ich doich alle Mi zusammen neheme habe ich die ganzen Zahlen und in jeder Menge ist die 0 entahlten.

Glaub jetzt hab ich es verstanden Augenzwinkern

aber kann mir vllt noch irgendjemand einen Tipp geben wie ich jetzt sowas z.B bweisen würden. Hab nämlich das Problem das ich nie auf nen richtigen ansatz dafür komme und wenn ich nachher die lösung sehe ist klar aber woran sehe ich mit welcher beweisform ich das jetzt beweisen würde?

09.11.2010, 09:28

system-agent

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Diese Vermutung hätte ich auch Augenzwinkern

.

Also willst du $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i\in\mathbb N}M_i=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ beweisen. Zeige dazu
(i) $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i\in\mathbb N}M_i\subset\mathbb Z \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\subset\bigcup\limits_{i\in\mathbb N}M_i \end{eqnarray*}$
und daraus folgt die Behauptung.

Zu (i):
Sei $\begin{eqnarray*} x\in\bigcup\limits_{i\in\mathbb N}M_i \end{eqnarray*}$ . Es gibt ein $\begin{eqnarray*} j\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in M_j \end{eqnarray*}$ . Also ... .

Zu (ii):
Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Bemerke, dass $\begin{eqnarray*} x<x+1 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} x\in M_{???} \end{eqnarray*}$ . Es folgt ... .

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