Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften

07.11.2010, 18:26

dublikhat

Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften

Meine Frage:
Hallo an alle,

habe folgendes Problem. Die Aufgabe lautet: Bestimme alle ganzrationale Funktionen mit den folgenden Eigenschaften: Der Grad beträgt 4, der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, ein Wendepunkt liegt bei W(1;?) und ein relativer Tiefpunkt bei T(?/0). Bevor Fragen kommen, ja das ist die wortwörtliche Aufgabenstellung und die Fragezeichen stehen tatsächlich da.

Meine Ideen:
Ich habe natürlich als Ansatz, dass man erst mal alle Gleichungen aufstellt, die man zur Verfügung hat:
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e als Funktion. Der Hinweis, dass die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist bedeutet meines Erachtens, dass b=d=0 ist, sodass sich die Funktion vereinfacht zu:
f(x)=ax^4+cx^2+e
--> f'(x)=4ax^3+2cx
--> f''(x)=12ax^2+2c

Daraus folgt, dass man zur genauen Lösung der Aufgabe drei Bedingungen braucht bzw. zur allgemeinen Lösung zwei, um eine Variable zu haben.
Das was mich am meisten irritiert, ist dass wir nicht die genauen Punkte des Wendepunkts bzw. des Tiefpunkts kennen. Ein Ansatz wäre natürlich:
f''(1)=0
-->12a+2c=0
-->c=-6a

Aber wie geht es jetzt weiter. Ich brauche immer noch mindestens eine Bedingung, um diese Aufgabe lösen zu können.
Danke schon im Vorraus.

07.11.2010, 18:39

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften
Dein Tiefpunkt hat die y-Koordiante 0, was heißt das, ist da etwa eine Nullstelle, damit würde e ja wegfallen

07.11.2010, 19:27

dublikhat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften
Hallo,

ich verstehe nicht ganz. e wird doch nur gleich 0, wenn in der ersten Gleichung x=0 wird, oder sehe ich das falsch?

07.11.2010, 19:45

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften

Zitat:

Original von dublikhat
Hallo,

ich verstehe nicht ganz. e wird doch nur gleich 0, wenn in der ersten Gleichung x=0 wird, oder sehe ich das falsch?

du hast völlig recht, baphomets beitrag war (wie so oft) völlig unqualifiziert und überflüssig.

ich habe im moment keine gute idee, außer dass man weiß, dass es eine stelle x_0 gibt, an der gilt f(x_0)=0 und f'(x_0)=0 und f''(x_0)>0.

kannst mal schauen, ob man damit was anfangen kann.

die umkehrfunktion zu benutzen und dann die bedingung, dass
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})' =\frac{1}{f'} \end{eqnarray*}$ ist finde ich vielleicht ein wenig gewagt für schüler und ich weiß auch nicht, ob es hilfreich ist.

summa summarum, keine wirklich brauchbare idee, ich weiß auch nicht, ob die angaben überhaupt ausreichen....

07.11.2010, 20:37

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich klinke mich mal nur kurz ein: Stand der Dinge ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 - 6ax^2 + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 4ax^3 - 12ax = 4ax(x^2-3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 12ax^2 - 12a = 12a(x^2-1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von lgrizu
ich habe im moment keine gute idee, außer dass man weiß, dass es eine stelle x_0 gibt, an der gilt f(x_0)=0 und f'(x_0)=0 und f''(x_0)>0.

Am brauchbarsten zur Ermittlung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist offenbar $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 4ax_0(x_0^2-3) = 0 \end{eqnarray*}$

Und nun Fallunterscheidung - es sagt ja keiner, dass es nur eine Lösung geben muss. Augenzwinkern

07.11.2010, 20:41

dublikhat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften
Hallo mal wieder,

der Ansatz ist zwar schön und gut, aber meinem Ziel, die Koeffizienten der Funktion zu bestimmen, bringt sie mich nicht weiter. Dadurch weiß ich doch lediglich bei welchen Werten die Ableitung Null wird...

07.11.2010, 21:06

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber
Ich klinke mich mal nur kurz ein: Stand der Dinge ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^4 - 6ax^2 + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 4ax^3 - 12ax = 4ax(x^2-3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 12ax^2 - 12a = 12a(x^2-1) \end{eqnarray*}$

kein problem, war ja eh nicht so, dass es von ideen gesprudelt hat Augenzwinkern

Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von lgrizu
ich habe im moment keine gute idee, außer dass man weiß, dass es eine stelle x_0 gibt, an der gilt f(x_0)=0 und f'(x_0)=0 und f''(x_0)>0.

die idee uíst gut, kann man weiter verfolgen, hab auch mal kurz nachgerechnet, eine eindeutige lösung ist nicht möglich, da die funktion jedoch bei x_0 ein minimum hat muss dieses aufgrund der symmetrie auch bei -x_0 liegen, oder im ursprung.
nun kann man diese fälle untersuchen, wenn es im ursprung liegt, dann liegt dort eine doppelte nullstelle vor und wir wissen, dass der koeffizient von x^0 null sein muss, liegt es nicht im ursrung so liegt aufgrund der symmetrie ein maximum auf der y-achse, diese möglichkeit muss man weietr verfolgen...

da kommt dann renes idee ins spiel...

Zitat:

Original von dublikhat
Hallo mal wieder,

der Ansatz ist zwar schön und gut, aber meinem Ziel, die Koeffizienten der Funktion zu bestimmen, bringt sie mich nicht weiter. Dadurch weiß ich doch lediglich bei welchen Werten die Ableitung Null wird...

du wirst keine eindeutige lösung finden, jedenfalls wüsste ich nicht wie, aber die idee, mehrere lösungen in betracht zu ziehen ist doch schon mal was.....

07.11.2010, 21:38

dublikhat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften
Hallo,

ich glaube das eigentliche Ziel muss es sein e in Abhängigkeit von a zu bringen, sodass wir eine allgemeine Lösung mit zwei Abhängigkeiten von a bekommen. Nur aus welcher Beziehung soll dieser Zusammenhang folgen? Da e nur in f(x) vorhanden ist, muss auch von da der Zusammenhang entstehen. Fragt sich nur über welche Beziehung...

07.11.2010, 22:13

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dublikhat hat es noch nicht gefunkt - gehen wir mal so ran:

Im Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist auf alle Fälle eine lokale Extremstelle. Wegen $\begin{eqnarray*} f''(0) = -12a \end{eqnarray*}$ ist dort dann

im Fall $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ ein Tiefpunkt, und zwar der gesuchte, es muss dann $\begin{eqnarray*} e=f(0)=0 \end{eqnarray*}$ sein. An den anderen beiden Extremstellen $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ sind dann Hochpunkte, die interessieren in dem Fall hier nicht.
im Fall $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ein Hochpunkt. Die Tiefpunkte liegen dann bei den Argumenten $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , daraus lässt sich dann auch das gesuchte $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ermitteln.

08.11.2010, 07:47

dublikhat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften
Hallo,

sry, hatte gestern Abend warscheinlich nicht mehr den Durchblick.
Ich resümiere:

Wir erhalten zwei Lösungsfunktionen:

1. f(x)=ax^4-6ax^2 für a<0, da dann e=0 wird, und

2. f(x)=ax^4-6ax^2+9a für a>0, da bei $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ e=9a wird.

Korrigiert mich falsch ich falsch liege.

08.11.2010, 08:55

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften
das ist soweit richtig.

Neue Frage »

Antworten »

Ganzrationale Funtkion 4 Grades mit 3 Eigenschaften

Verwandte Themen