Interpolationsproblem

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Janni87 Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolationsproblem
a ) Berechnen Sie unter Verwendung des Differenzenschemas die Newton'schen Interpolationspolynome zu den Datenpaaren

i )






ii )






Ich habe ausgerechnet für i )


und für ii )



Jetzt habe ich eine Frage zu b) und c)

b) Erläutern Sie, welche Grade die zugrunde liegenden Polynome die Datensätze (i) und (ii) haben. Ist die Interpolation hier exakt???

Was ist genau bei b) gefragt??

c) Es seien n+1 Datensätze an n verschiedenen Stützstellen gegeben. Erläutern Sie welchen Grad das daraus rekonstruierte Interpolationspolynom maximal haben kann.

Ich denke c) baut auf b) auf.

Danke für eure Hilfe.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Zitat:
c) Es seien n+1 Datensätze an n verschiedenen Stützstellen gegeben. Erläutern Sie welchen Grad das daraus rekonstruierte Interpolationspolynom maximal haben kann.


Kann man unabhängig beantworten und sollte man auch vorab mal drüber nachdenken.
Janni87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Also der erste Datensatz von i hat kein Polynom, beim zweiten ist es x^1 beim dritten x^2 und beim drittenn x^3. Kann man das so als Antwort stehen lassen??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Nein, denn was soll das heißen?

Ferner habe ich dich doch gebeten, die zuerst mit der allgemeinen Teilaufgabe zu beschäftigen. Findet man in jedem Numerikbuch gleich zu Beginn der Lagrangeschen Interpolationsaufgabe.
Janni87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Ja, also zur Exaktheit der Interpolationspolynme...ich finde das hat man uns ganz schwammig erklärt; und zwar nur mit einem Satz:

"Eine Interpolation ist exakt, wenn das IP dem zugrunde liegenenden Polynom entspricht."

Ich finde, das hätte man auch etwas klarer erläutern können.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Danach habe ich doch gar nicht gefragt. unglücklich

Zitat:
c) Es seien n+1 Datensätze an n verschiedenen Stützstellen gegeben. Erläutern Sie welchen Grad das daraus rekonstruierte Interpolationspolynom maximal haben kann.


Da warte ich auf einen vernünftigen Antwortsatz. Dann kann es mit der "Exaktheit" weitergehen.

Zitat:
"Eine Interpolation ist exakt, wenn das IP dem zugrunde liegenenden Polynom entspricht."


Was soll man da noch genauer sagen. Das IP ist ein Polynom von endlichem Grad. Daher kann es ja nicht exakt einer Funktion gleichen, die kein Polynom ist. Ich kann aber doch auch ein Polynom als Funktion ansehen, die ich mit einem IP nähern will. Exakt ist das ganze dann, wenn IP=Polynom=f
 
 
Janni87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
zu c)

Also bei dem Beispiel oben, kann das Interpolationspolynom maximal sein. Also mit 4 Datensätzen.

Zitat: "Zu n + 1 paarweise verschiedenen Datenpunkten gibt es genau ein Interpolationspolynom n-ten Grades"
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Fast! Zu (n+1) Knoten gibt existiert eindeutig ein IP vom Maximalgrad n.

Zitat:
b) Erläutern Sie, welche Grade die zugrunde liegenden Polynome die Datensätze (i) und (ii) haben. Ist die Interpolation hier exakt???


Also haben wir die Datenpaare aus (x|p(x)) gewonnen. Die Frage ist nun, was wir über den Grad von p aussagen können.

(i) 4 Punkte, IP hat den Maxgrad 2 => p hat grad 2 und IP=p

(ii) 4 Punkte, IP hat den Maxgrad 3 => können wir keine Aussage treffen.
Janni87 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Also können wir zu ii) nicht genau bestimmen welches Polynom die Datensätze haben, weil es verschiedene Polynome in p(x) gibt ok.

Also ist die Interpolation bei i ) exakt und bei ii) eben nicht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Zitat:
Original von Janni87
Also können wir zu ii) nicht genau bestimmen welches Polynom die Datensätze haben, weil es verschiedene Polynome in p(x) gibt ok.

Also ist die Interpolation bei i ) exakt und bei ii) eben nicht.


Nein. Wir wissen doch nur, dass wir eine Polynomfunktion interpolieren. Bei (ii) könnten es ja auch 4 Punkte eines Polynoms vom Grad 4 sein. Das IP hat aber maximal Grad 3. Es könnte aber ein kubisches Polynom gewesen sein. Wir können keine Aussage treffen.
Lucas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolationsproblem
Hallo Janni87,

Dein f(x) ist richtig, aber
ich behaupte mal, dass du g(x) falsch ermittelt hast.
Rechne mal nochmal nach. Vielleicht kommst du auf das hier:


L. G. Lucas
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