Rechteck mit angesetzem Halbkreis

07.11.2010, 19:20

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechteck mit angesetzem Halbkreis

Guten Abend zusammen, Ich bin es wieder Big Laugh

Big Laugh

Im Moment haben wir ein Thema in Mathe, welches Ich kaum verstehe... ich weiß nicht einmal das genaue Thema haha.. Big Laugh

Big Laugh

unglücklich

naja auf jedenfall haben wir folgende Aufgabe bekommen ->

"Der querschnitt eines Kanals ist ein rechteck mit angesetztem halbkreis. wähle die maße dieses rechecks so, dass bei gegeben umfang u des querschnitts sein inhalt möglichst groß wird." Der Umfang wurde vom Lehrer als U = 4m angegeben. Eine Zeichnung zur Verdeutlichung habe ich auch direkt mit hochgeladen.

Also nun zu dem was ich verstanden habe Big Laugh

Big Laugh

Extremalbedingung: A = a*b+ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ /2
Nebenbedingung: U = 4m -> Ukreis = 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ *r
... ja und hier hörts schon auf Big Laugh

Big Laugh

was muss ich jetzt weiter machen?

Danke schonmal für euer Verständnis und eure Hilfe smile

smile

[attach]16543[/attach]

07.11.2010, 19:32

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rechteck mit angesetzem Halbkreis
Bist du sicher, dass mit U der Umfang des Halbkreises gemeint ist? Es könnte auch der Umfang der ganzen Figur sein.

Wie kommst du weiterhin auf die Formel für die Fläche des Halbkreises?

Ferner ist der Umfang des Halbkreises falsch.

smile

smile

07.11.2010, 19:46

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

War wohl eine Falschformulierung von mir. hmm bin aber gerade selber verwirrt... kann auch daran liegen das Abend ist und ich sowieso keine Ahnung von mathe habe unglücklich

unglücklich

Wie müsste ich denn anfangen? ich bin da immer sehr unsicher

07.11.2010, 19:50

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Gehen wir vom Umfang u = 4m für die gesamte Figur aus.

Dieser Umfang setzt sich dann zusammen aus Umfang des Halbkreises und der Rechteckseiten, so wie sie in deiner Zeichnung zu sehen sind.

1) Wie lautet der Umfang des Halbkreises?

2) Erkennst du einen Zusammenhang zwischen r und a?

smile

smile

07.11.2010, 19:53

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für dein Verständnis Big Laugh

Big Laugh

zu 1.) Der Umfang des Halbkreises ist -> 2*r* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

zu 2.) ja die Hälfte der Seite a ist der Radius des Halbkreises -> 2r=a

07.11.2010, 19:56

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

1) Wenn du $\begin{eqnarray*} 2\cdot r\cdot \pi \end{eqnarray*}$ meinst, das ist der Umfang des ganzen Kreises. Augenzwinkern

Augenzwinkern

2) Richtig, und diese Erkenntnis nutzen wir und ersetzen das a durch 2r.

Kannst du nun die HB richtig aufstellen?

Anzeige

07.11.2010, 20:35

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

smile

und wie wäre dann der Umfang des halben kreises? nur $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ *r ?

ich bin mir jetzt nicht sicher was du mit HB meinst und wie ich das machen soll..

also der Umfang des Rechtecks wäre ja einfach

U (Rechteck) = 2a + 2b

und der Umfang vom Halbkreis wäre dann ja

U ( Halbkreis) = r* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Zusammen wäre das dann ja

U = 2a+2b+r* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 20:44

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich meinte die NB (Nebenbedingung), die den Umfang benutzt.

Sie ist fast richtig, allerdings hast du ja nur 1 a. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Außerdem setze ich gleich u = 4 (m) ein.

Also: $\begin{eqnarray*} 4 = a+2b+r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Was jetzt noch fehlt ist, dass wir a durch 2r ersetzen, dann ist die NB fertig.

07.11.2010, 21:35

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ok stimmt Big Laugh

Big Laugh

also wäre die fertige ->

$\begin{eqnarray*} 4 = 2r+2b+r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 21:39

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Freude

Und die wird jetzt nach b umgestellt, damit wir sie in die Hauptbedingung (HB) einsetzen können.

Die HB werden wir aufstellen, sobald b = ..... fertig ist.

smile

smile

08.11.2010, 20:08

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

Sry für die späte Antwort unglücklich

unglücklich

hatte heute ziemlich viel zu tun .. Big Laugh

Big Laugh

smile

also nach b auflösen ok moment...

2b=- 4-2r-r* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$
b = -2-r-r* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ /2

ist das bis hierhin richtig? ich hoffe es Big Laugh

Big Laugh

08.11.2010, 20:28

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist mir ein Minus zu viel:

$\begin{eqnarray*} 4 = 2r+2b+r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b = 4- 2r -r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 2- r -\frac{1}{2} r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

So ist es besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann also zur Hauptbedingung (HB) bzw. Extremalbedingung, wenn du sie unter diesem Namen kennst.

Zitat:

Extremalbedingung: A = a*b+ pi/2

Das ist noch verbesserungsbedürftig...

08.11.2010, 20:42

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, stimmt die 4 bleibt also einfach so "stehen"? gut smile

smile

also dann zur HB bzw Extremalbedingung ->

ich fang einfach nochmal so an wie eben

A (Rechteck) = a*b
A (Halbkreis) =1/2* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ *r²

Zusammen ist das dann ->

A = a*b+1/2* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ *r²

08.11.2010, 20:43

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt.

Freude

Und jetzt muss das a durch die 2r ersetzt werden, anschließend ersetzt du das b durch den Ausdruck der NB.

08.11.2010, 20:49

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ok cool.. ich wusste was Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

also ..

Big Laugh

A = 2r*2-r-1/2r* $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

08.11.2010, 20:57

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, es wäre besser gewesen, es in zwei Schritten zu machen:

$\begin{eqnarray*} A = a\cdot b+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2r\cdot b+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2r\cdot (2- r -\frac{1}{2} r\cdot \pi)+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

Es war dir zum einen der zweite Summand abhanden gekommen, außerdem hast du die wichtige Klammer nicht gesetzt.

Jetzt musst du ein wenig vereinfachen. Zuerst solltest du mal die Klammer auflösen.

Kannst du mit dem Formeleditor (rechts, unter "Werkzeuge" ) schreiben? Du kannst auch meine Formeln in den Formeleditor kopieren.

08.11.2010, 21:11

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok stimmt das hatte ich vergessen... ja ich kann damit umgehen smile

smile

ok also

$\begin{eqnarray*} A = a\cdot b+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2r\cdot b+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 2r\cdot (2- 2r -\frac{1}{2} r\cdot \pi)+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

jetzt die Klammer vereinfachen ->

$\begin{eqnarray*} A = 4r-4r²-r²* \pi+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

08.11.2010, 21:18

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du meine Gleichungen sehr schnell kopiert und leider einen Tippfehler mitgenommen, den ich offenbar nicht schnell genug verbessert habe: In der Klammer muss statt 2r nur r stehen.

So sieht dann die Gleichung mit aufgelöster Klammer aus:

$\begin{eqnarray*} A(r) = 4r-2r²-r²\cdot \pi+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich noch die letzten beiden Summanden zusammenfassen.

08.11.2010, 21:26

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ich hoffe ich kriege das hin Big Laugh

Big Laugh

->

$\begin{eqnarray*} A(r) = 4r-2r²-r²\cdot \pi+\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r^2 \end{eqnarray*}$ ->

$\begin{eqnarray*} A(r) = 4r-2r²-\frac{1}{2} \cdot \pi\cdot r² \end{eqnarray*}$

ich bin mit den ganzen zeichen jetzt total verwirrt :S

08.11.2010, 21:29

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht sehr gut aus. Freude

Freude

Jetzt basteln wir noch eine Funktion draus und dann geht es schon ans Ableiten.

$\begin{eqnarray*} A(r) = 4r-2r²-\frac{1}{2} \cdot r²\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Kannst du A'(r) bilden? (Und weißt du auch, warum wir das machen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

08.11.2010, 21:33

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

also A'(r) kann ich bilden bei der Frage warum wir das machen bin ich ehrlich gesagt noch überfragt Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} A(r) = 4r-2r²-\frac{1}{2} \cdot r²\cdot \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(r) = 4-4r-r*\pi \end{eqnarray*}$

08.11.2010, 21:41

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Fein, die Ableitung stimmt. Freude

Freude

Du machst es deshalb, weil du einen Extremwert suchst (max. Fläche). Ein Extremwert hat die Eigenschaft, dass die Steigung der Funktion hier 0 ist.

Also ist auch die erste Ableitung an dieser Stelle = 0

Deshalb schreibst du nun:

$\begin{eqnarray*} 0 = 4-4r-r*\pi \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du r ausrechnen. smile

smile

08.11.2010, 22:15

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh danke für die nette Erklärung, stimmt jetzt fällts mir wieder ein smile

smile

$\begin{eqnarray*} 0 = 4-4r-r*\pi \end{eqnarray*}$ / -4

$\begin{eqnarray*} -4 = -4r-r*\pi \end{eqnarray*}$ / : (-4)

$\begin{eqnarray*} 1= r-r*\pi \end{eqnarray*}$

und was mache ich nun ? also ich habe probleme mit dem $\begin{eqnarray*} r*\pi \end{eqnarray*}$

08.11.2010, 22:22

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, bei dem letzten Schritt ist ein Fehler aufgetreten:

$\begin{eqnarray*} -4 = -4r-r\cdot \pi \end{eqnarray*}$ / : (-4)

Du musst alle Terme teilen, es sähe so aus:

$\begin{eqnarray*} -1 = -1r- \frac{1}{4}\cdot r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Ist nicht wirklich genial. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie wäre es, wenn du statt durch (-4) zu teilen mit (-1) multiplizierst:

$\begin{eqnarray*} -4 = -4r-r\cdot \pi \end{eqnarray*}$ |· (-1)

$\begin{eqnarray*} 4 = 4r+ r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du r ausklammern, durch die Klammer teilen und bist fast fertig. smile

smile

08.11.2010, 22:28

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, ich muss vorsichtiger sein smile

smile

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 4 = 4r+ r\cdot \pi \end{eqnarray*}$
also diesen Schritt verstehe ich nicht ganz r ausklammern und dann durch die Klammer teilen? verwirrt

verwirrt

Big Laugh

ich versuche es einfach mal

$\begin{eqnarray*} 4= 4r+r*\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4= r(4+\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = 4/(4+\pi) \end{eqnarray*}$

08.11.2010, 22:34

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst das Richtige. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} r = 4/(4+\pi) \end{eqnarray*}$ => hier nie die Klammer vergessen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} r =\frac{4}{4+\pi} \end{eqnarray*}$ => oder so schreiben.

Jetzt kennst du schon mal r.

Es fehlen noch a und b, damit wir die gesuchten Maße des Rechtecks bestimmen können.

08.11.2010, 22:42

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ok gut

smile

bei a wissen wir ja folgendes -> a=2r und da wir nun r kennen ->
$\begin{eqnarray*} a= 2*\frac{4}{4+\pi} \end{eqnarray*}$

Nur ne Frage am rande... ist r nun -> $\begin{eqnarray*} r =\frac{4}{4+\pi} \end{eqnarray*}$ oder das Ergebnis dieses Terms, also ca. 0,56

und b hatten wir ja auch schon was gefunden Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} b = 2- r -\frac{1}{2} r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

also wenn ich nun weitermachen würde mit r= ca. 0,56 dann würde bei

a= ca.1,12 rauskommen , bei b bin ich mir noch nicht sicher, da ich da b= ca.2,32 raus habe

08.11.2010, 22:47

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von xXDaveXx

Nur ne Frage am rande... ist r nun -> $\begin{eqnarray*} r =\frac{4}{4+\pi} \end{eqnarray*}$ oder das Ergebnis dieses Terms, also ca. 0,56

Es ist doch beides identisch, der Bruch ist allerdings genauer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

a hast du also auch schon, man könnte auch a = 1,12 m sagen.

b muss noch ermittelt werden.

08.11.2010, 22:48

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

hast recht, hab mit dem Bruch auch weitergerechnet smile

smile

b ist ca 2,32

08.11.2010, 22:51

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das ist viel zu viel. Da muss irgendwo ein Fehler sein... verwirrt

verwirrt

08.11.2010, 22:51

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

also haben wir alle Maße smile

smile

$\begin{eqnarray*} r =\frac{4}{4+\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{4}{4+\pi} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} ca.1,12 \end{eqnarray*}$

ok bei b muss ich dann nochwas nachrechnen moment -> hmm kommt immernoch dasselbe raus ich schilder mal wie ich es gerechnet habe

$\begin{eqnarray*} b = 2-(4/(4+\pi))-1/2*(4(4+\pi)*\pi) \end{eqnarray*}$

08.11.2010, 22:57

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} b = 2- r -\frac{1}{2} r\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Überschlag:

$\begin{eqnarray*} b = 2- 0,56 -\frac{1}{2} 0,56\cdot \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 1,44 - 0,28\cdot \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 1,44 - 0,88 \end{eqnarray*}$

edit:
$\begin{eqnarray*} b = 2-(4/(4+\pi))-1/2*(4(4+\pi)*\pi) \end{eqnarray*}$ ist richtig Freude

Freude

und führt auf die richtige Lösung.

08.11.2010, 23:00

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ok stimmt beim genaueren Nachrechnen kommt da ca 0,56 raus. Das ist ja dasselbe Ergebnis wie bei Radius Big Laugh

Big Laugh

08.11.2010, 23:01

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Freude

b = r, a = 2r.

In Zahlen: b = r = 0,56 m und a = 1,12 m

Fertig. smile

smile

08.11.2010, 23:04

xXDaveXx

Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön smile

smile

du warst mir eine große Hilfe ich hab das jetzt viel viel besser verstanden smile

smile

Danke, könnte nur sein, dass ich noch öfter auf dich zurückkommen muss Big Laugh

Big Laugh

smile

08.11.2010, 23:05

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Melde dich gerne wieder, dazu sind wir ja hier. smile

smile

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »