Abschätzung Nullfolge 1/ln(n) gegen +inf

07.11.2010, 20:55

pablosen

Abschätzung Nullfolge 1/ln(n) gegen +inf

Guten Abend

Ich kann die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) := \frac{1}{ln(n)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ln(...) \end{eqnarray*}$ := Logarithmus naturalis nach unten abschätzen mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}=\frac{1}{ln(e^n)}\leq (a_n) \end{eqnarray*}$ ,

aber ich krieg einfach keine brauchbare Abschätzung nach oben hin.

Könnt ihr mir vlt. helfen? Falls mein Weg schon oben falsch ist: Wie kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist (für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ )?

Grüsse

08.11.2010, 00:31

Abakus

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RE: Abschätzung Nullfolge 1/ln(n) gegen +inf
Hallo!

Der log ist (streng) monoton und unbeschränkt. Hilft das?

Grüße Abakus smile

08.11.2010, 02:14

pablosen

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RE: Abschätzung Nullfolge 1/ln(n) gegen +inf

Zitat:

Original von Abakus
Hallo!

Der log ist (streng) monoton und unbeschränkt. Hilft das?

Grüße Abakus smile

Meinst du einfach, dass dann ln(n) gegen +unendlich geht?

Reicht das schon als "Beweis" ? Logisch, dass dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(n)} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \inf \end{eqnarray*}$ ?

08.11.2010, 10:41

system-agent

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Ja das reicht.

Nur wieso willst du das überhaupt mit Abschätzungen machen? Beweise die Konvergenz doch einfach mit der Definition.

08.11.2010, 13:22

pablosen

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Zitat:

Original von system-agent
Ja das reicht.

Nur wieso willst du das überhaupt mit Abschätzungen machen? Beweise die Konvergenz doch einfach mit der Definition.

Ja einfach so als Übung für mich halt.

Aber klar. Eigentlich ist das einfachste, zu zeigen, dass die Folge monoton fallend ist (per Induktion bspweise), dann 0 kleiner gleich alle Folgenglieder (per Induktion bspweise) und dann kann man noch annehmen, dass es eine Schranke grösser 0 gibt und zum Widerspruch führen.

Oder einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{ln(n)} = 0 \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}ln(n) = \infty \end{eqnarray*}$ , wobei mir das etwas billig vorkommt und ich ernsthaft daran zweifle, dass dies ein sauberer Beweis ist.

08.11.2010, 13:40

system-agent

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Zitat:

Original von pablosen
Oder einfach $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{ln(n)} = 0 \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}ln(n) = \infty \end{eqnarray*}$ , wobei mir das etwas billig vorkommt und ich ernsthaft daran zweifle, dass dies ein sauberer Beweis ist.

Dann beweise es doch Augenzwinkern

. Sei also $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ eine Folge die monoton steigend ist, immer $\begin{eqnarray*} f_n>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n=\infty \end{eqnarray*}$ gilt. Die Behauptung ist dann, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{f_n}=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

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