Äquivalenzrelation

07.11.2010, 23:37

muma

Äquivalenzrelation

Aufgabe:

Für beliebige (a,b) und (c,d) in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ definieren wir folgende Äquivalenzrelation auf der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$

(a,b)~(c,d) <=> a+d = b+c.

Wir bezeichnen mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die Menge der Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ / ~.

Wir definieren auf Repräsentantennivea
m : $\begin{eqnarray*} (\mathbb N \times \mathbb N )\times (\mathbb N \times \mathbb N ) -> (\mathbb N \times \mathbb N ),(a,b),(c,d) |-> (a \cdot c+ b \cdot d,a \cdot d+ b \cdot c) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass die entsprechende Abbildung m (mit Strich drüber, hab keinen Latex-Code gefunden): $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \times \mathbb Z -> \mathbb Z \end{eqnarray*}$ auf den Äquvalenzklassen wohldefiniert ist, das heißt für alle (a,b),(a',b'),(c,d),(c',d') in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \times \mathbb N \end{eqnarray*}$ so dass (a,b) ~ (a',b') und (c,d) ~ (c',d') gilt

$\begin{eqnarray*} (a \cdot c+ b\cdot d,a \cdot d+ b \cdot c) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} (a' \cdot c'+ b' \cdot d',a' \cdot d'+ b' \cdot c') \end{eqnarray*}$ .

(-> soll ein Pfeil sein, und |-> ein Abbildungspfeil, hab ich im Formeleditor nicht gefunden)

Meine Ideen:
Ich muss ja jetzt zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (a \cdot c+ b\cdot d,a \cdot d+ b \cdot c) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} (a' \cdot c'+ b' \cdot d',a' \cdot d'+ b' \cdot c') \end{eqnarray*}$
äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} (a\cdot c+ b\cdot d)+ (a'\cdot d'+ b'\cdot c')= (c\cdot d+ b\cdot c)+ (a'\cdot c'+ b'\cdot d') \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich das?

08.11.2010, 08:12

Mazze

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Pfeil \rightarrow

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

dicker Pfeil \Rightarrow

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Strich drüber \overline{m}

$\begin{eqnarray*} \overline{m} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie zeige ich das?

Nutze die Definition der Äquivalenzrelation. Du weisst bestimme Dinge über a,b,c,d,a' usw.

08.11.2010, 21:45

muma

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Danke für die Latex-Codes!

Mit der Äquivalenzrelation komm ich grad einfach nicht weiter...

09.11.2010, 23:01

muma

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Warum antwortet niemand?

10.11.2010, 07:27

Mazze

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Schreibe zunächst hin was

Zitat:

(a,b) ~ (a',b') und (c,d) ~ (c',d')

bedeutet, danach solltest Du sehen wohin der Beweis geht. Weiterhin solltest Du mal die Definition der Äquivalenzrelation für

$\begin{eqnarray*} (a \cdot c+ b\cdot d,a \cdot d+ b \cdot c) \sim (a' \cdot c'+ b' \cdot d',a' \cdot d'+ b' \cdot c') \end{eqnarray*}$

einsetzen.

10.11.2010, 13:58

muma

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RE: Äquivalenzrelation
Die Definition habe ich schon eingesetzt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a \cdot c+ b\cdot d,a \cdot d+ b \cdot c) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} (a' \cdot c'+ b' \cdot d',a' \cdot d'+ b' \cdot c') \end{eqnarray*}$
äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} (a\cdot c+ b\cdot d)+ (a'\cdot d'+ b'\cdot c')= (c\cdot d+ b\cdot c)+ (a'\cdot c'+ b'\cdot d') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} (a',b') \Leftarrow \Rightarrow a+b' = b+a' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (c,d) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} (c',d') \Leftarrow \Rightarrow c+d' = d+c' \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, das ich nicht weiß, wie ich das Gegebene einsetzten soll.
Wahrscheinlich ist es ganz einfach, aber ich komm einfach nicht drauf.

10.11.2010, 14:15

Mazze

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Man könnte zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} a = b + a' - b' \end{eqnarray*}$

umstellen und einsetzen. Auf diese Weise sollte man von der Linken Seite zur rechten Seite kommen. Man muss nur die richtigen Umformungen wählen.

10.11.2010, 14:27

muma

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Vielen Dank!
Dann mach ich mal in der Weise weiter.

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