Bedingter Erwartungswert

08.11.2010, 00:58

speedyschmidt

Bedingter Erwartungswert

Hallo

,

ich habe folgende Aufgabe:
Seien X und Y auf [0,1] uniform verteilt und unabhängig, M=max(X,Y). Berechne E[X|M].
Irgendwie meine ich, dass da 3/4 M rauskommen muss, aber folgende Rechnung zerstört das:

Berechnung einer gemeinsamen Verteilung von X und M:

P(X<=x, M<=m)=mx falls x<=m
=m^2 sonst
aber dann käme ich durch ableiten auf die "Dichte" $\begin{eqnarray*} f^{(X,M)}(x,m) =1_{\{x<=m\}} \end{eqnarray*}$ .
Nun führt eine Aufgabe von einem alten Übungsblatt zum Ergebnis E[X|M]=1/2M.
Das Problem ist, dass scheinbar die dichte schon falsch ist, weil sie über $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ integriert nur 1/2 ergibt. Bin leider nicht mehr so ganz in der Materie, wieso funktioniert das mit dem Ableiten(nach x und m) von Verteilungsfunktion zu Dichte hier nicht?

Ok, ich merk schon, irgendwie ist die Verteilungsfunktion ja nicht so wirklich differenzierbar. Wie komm ich denn dann auf die Dichte?

Edit: Jetzt hab ich mir nochmal die Verteilung von min und max angeschaut, differenziert und die Symmetrie von X und Y ausgenutzt. Jetzt komme ich sogar auf 3/4 M, aber ich habe wieder $\begin{eqnarray*} (2yx-x^2)*1_{\{x<=y\}} \end{eqnarray*}$ differenziert, was ja eigentlich nicht geht... Wann darf ich differenzieren um von Verteilungsfunktion auf Dichtefunktion zu kommen?

08.11.2010, 07:38

René Gruber

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Zitat:

Original von speedyschmidt
wieso funktioniert das mit dem Ableiten(nach x und m) von Verteilungsfunktion zu Dichte hier nicht?

Sehr einfach: Der Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} (X,M) \end{eqnarray*}$ ist NICHT absolutstetig verteilt (bzgl. des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes)!

Das sieht man z.B. an der Wertemenge

$\begin{eqnarray*} D = \{ (t,t) \bigm| 0\leq t\leq 1\} \end{eqnarray*}$

(D wie Diagonale), denn da ist

$\begin{eqnarray*} P((X,M)\in D) = P(X\geq Y) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ während diese Menge das Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda(D) = 0 \end{eqnarray*}$ hat. Absolutstetigkeit (und somit Existenz der Dichte) erfordert aber $\begin{eqnarray*} P((X,M)\in D) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle Lebesgue-Nullmengen $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

Es gibt somit keine Dichte von $\begin{eqnarray*} (X,M) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

P.S.: Ach ja, $\begin{eqnarray*} E(X \mid M) = \frac{3}{4}M \end{eqnarray*}$ ist richtig, basierend etwa auf der für $\begin{eqnarray*} 0<m\leq 1 \end{eqnarray*}$ gültigen bedingten Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x \mid M=m) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\;x<0 \\ \frac{x}{2m} & \;\mbox{für}\; 0\leq x<m \\ 1 & \;\mbox{für}\; x\geq m \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

die bei $\begin{eqnarray*} x=m \end{eqnarray*}$ einen Sprung der Höhe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aufweist.

08.11.2010, 12:07

speedyschmidt

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Ok, dankeschön, dann trotzdem noch die Frage, wieso dass bei m=min(X,Y) bzw M=max(X,Y) funktioniert.

offenbar gilt ja hier Deine Gleichung $\begin{eqnarray*} P((M,m)\in N)=0 \end{eqnarray*}$ für alle Nullmengen.
Reicht das schon oder brauche ich absolutstetigkeit?

Edit: Vermutlich schon (Radon-Nikodym ?)

08.11.2010, 12:10

René Gruber

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Ok, dankeschön, dann trotzdem noch die Frage, wieso dass bei m=min(X,Y) bzw M=max(X,Y) funktioniert.

Na denk doch mal nach: Hier ist es nicht in der Hälfte aller Fälle so, dass Minimum und Maximum gleich sind, sondern nur in der Nullmenge $\begin{eqnarray*} X=Y \end{eqnarray*}$ .

08.11.2010, 12:15

speedyschmidt

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. Jetzt weiß ich erst, was Du meinst! Absolutstetigkeit gab's ja auch für Maße. Hab die ganze Zeit überlegt warum nun die Dichtefunktion absolutstetig sein soll Big Laugh

Ich danke Dir, hast mir sehr geholfen!

08.11.2010, 13:04

René Gruber

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Ach das war das Problem. Also gemeint habe ich immer nur Absolutstetigkeit von Maßen bzw. Zufallsgrößen, nie aber von Dichten - ich hoffe, dass ich mich nirgendwo oben verschrieben habe. Augenzwinkern

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