Köln Ring, Abb(M;R)

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08.11.2010, 11:43	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Köln Ring, Abb(M;R) Ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring, $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine beliebige nichtleere Menge und $\begin{eqnarray} S = Abb(M;R) \end{eqnarray}$ die Menge aller Abbildungen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , so ist auf $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} (f + g)(m) := f(m) + g(m); (f \cdot g)(m) := f(m) \cdot g(m) \end{eqnarray}$ eine Addition und eine Multiplikation erklärt. (i) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ auf diese Weise zu einem kommutativen Ring mit Eins wird. (ii) Ist $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ein Körper, falls $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Körper ist? zu i): Um zu zeigen ob $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ein Ring muss ich also zeigen das: a) $\begin{eqnarray} (S, +) \end{eqnarray}$ ist eine abelsche Gruppe. b) $\begin{eqnarray} (S, \cdot) \end{eqnarray}$ ist eine kommutative Halbgruppe. c) Distributivgesetze Bisher hab kann ich für a) b) nur die Assoziativität nachweisen: $\begin{eqnarray} a,b,c \in (S,+) ; f,g,h \in (S, \cdot) <br /> (a + b)(m) + c(m)= a(m) + b(m) +c(m) = a(m) +(b+c)(m) <br /> (f \cdot g)(m) \cdot h(m)= f(m) \cdot g(m) \cdot h(m)= f(m) \cdot (g\cdot h)(m) \end{eqnarray}$ Was sind hier überhaupt die inversen und neutralen Elemente? Dachte zu erst die inversen wehren die Umkehrabbildung, was aber nicht geht da die Elemente nach Vorraussetzung nicht bijektiv sind. Genauso habe ich vermutet das $\begin{eqnarray} id \end{eqnarray}$ das neutrale Element ist, was aber auch nicht geht da nach Vorraussetzung ja nicht $\begin{eqnarray} M \subseteq R \end{eqnarray}$ ist. Könnte also einen Denkanstoss gebrauchen.
08.11.2010, 11:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du brauchst dir über multiplikativ Inverse Abbildungen ersteinmal keine Gedanken machen, die brauchst du für einen Ring nicht. Die Frage nach dem neutralen Element kannst du dir doch leicht selbst beantworten: Für welche Funktion g gilt (f+g)(m) = f(m) + g(m) = f(m) für alle m? Analog für die Multiplikation. Auf die gleiche Art und Weise lassen sich die Inversen bezüglich der Addition berechnen
08.11.2010, 12:00	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich: $\begin{eqnarray} f(m) = f(m) + g(\emptyset) \end{eqnarray}$ ? Aber dann würde ja das: $\begin{eqnarray} (f + g)(m) = f(m) + g(\emptyset) = f(m) \end{eqnarray}$ keinen Sinn ergeben?
08.11.2010, 12:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst dein g wählen, nicht das Argument von g(und dann auch noch komisch ). Die Funktion g kann man also konkret darstellen.
08.11.2010, 12:17	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Nächste Vermutung Ich setze jetz einfach mal: $\begin{eqnarray} g(m):=x , x \in R \end{eqnarray}$ Bei jeder Abbildung aus S wird ja ein Wert aus M auf einen aus R abgebildet. Vermutlich ist das neutrale Element dann die Abbildung g, die einen Wert aus M auf $\begin{eqnarray} 0_{R} \in R \end{eqnarray}$ abbildet. Jetzt ungefähr richtig? Steh echt auf dem Schlauch grad.
08.11.2010, 12:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber jetzt schreib es nochmal vollständig hin
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08.11.2010, 12:44	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sei $\begin{eqnarray} f(m), g(m) \in S ; g(m) = 0_{R} \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} (f + g)(m) = f(m) + g(m) = f(m) + 0_{R} = f(m) \end{eqnarray}$ so, vor allem formal, richtig?
08.11.2010, 12:57	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht f(m) ist in S, sondern f ist in S. Ansonsten ganz ok. Jetzt dasselbe auch nochmal für die Multiplikation
08.11.2010, 13:15	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, es ist ja die Abbildung selber gemeint: Im Grunde kann man ja alles auf die Ringeigenschaften von R "zurückführen": Addition: $\begin{eqnarray} f, g \in S ; g(m) = 0_{R} (\in R) \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} (f + g)(m) = f(m) + g(m) = f(m) + 0_{R} = f(m) \end{eqnarray}$ Multiplikation: $\begin{eqnarray} f, g \in S ; g(m) = 1_{R} (\in R) \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} (f \cdot g)(m) = f(m) \cdot g(m) = f(m) \cdot 1_{R} = f(m) \end{eqnarray}$ Das inverse würde ich dann jetzt so machen: $\begin{eqnarray} f, g \in S ; g(m) = -f(m) (\in R) \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} (f + g)(m) = f(m) + g(m) = f(m) + (-f(m)) = 0_{R} \end{eqnarray}$
08.11.2010, 13:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Abelsch und Distributiv lassen sich wieder genauso zurückführen

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