Partialbruchzerlegung mit e-Funktion

08.11.2010, 12:03

Fred Krake

Partialbruchzerlegung mit e-Funktion

Meine Frage:
Hi!

Ich möchte eine Funktion durch Partialbruchzerlegung umformen, damit ich leichter integrieren kann. Das Verfahren ist für mich noch neu, deshalb bin ich ziemlich unsicher.
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Mein Ansatz wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}=\frac{Ax+B}{1+e^{x}}+\frac{Cx+D}{(1+e^{x})^{2}}+\frac{Ex+F}{(1+e^{x})^{3}} \end{eqnarray*}$
Nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner $\begin{eqnarray*} (1+e^{x})^{3} \end{eqnarray*}$ bekomme ich raus:
$\begin{eqnarray*} 3e^{x}=(Ax+B)(1+e^{x})^{2}+(Cx+D)(1+e^{x})+Ex+F \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(Ax+B)(1+2e^{x}+e^{2x})+(Cx+D)(1+e^{x})+Ex+F \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =Ax+2Ae^{x}x+Ae^{2x}x+B+2Be^{x}+Be^{2x}+Cx+Ce^{x}x+D+De^{x}+Ex+F \end{eqnarray*}$

Für den Koeffizientenvergleich muss ich das ja ordnen und hab das nach Gefühl so gemacht:
$\begin{eqnarray*} =A*e^{2x}x+B*e^{2x}+(2A+C)e^{x}x+(2B+D)e^{x}+(A+C+E)x+B+D+F \end{eqnarray*}$
Dann bekomme ich für die Koeffizienten raus:
A=B=C=0 und 2B+D=3, daher D=3. A+C+E=0, daher E=0. Wegen B+D+F=0 ist dann F=-3. Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^3}=\frac{3}{(1+e^{x})^{2}}-\frac{3}{(1+e^{x})^{3}} \end{eqnarray*}$
Ich hab durch Einsetzen schon gemerkt, dass das tatsächlich zu stimmen scheint, aber habe ich sinnvoll gerechnet? Ich habe das Gefühl, ich habe irgendwo einen großen Umweg gemacht.
Die Stammfunktion lautet doch dann so, richtig?
$\begin{eqnarray*} \left[3*ln(1+e^{x})^{2}-3*ln(1+e^{x})^{3}+C\right] \end{eqnarray*}$ Aber kann man das nicht weiter vereinfachen??

Tausend Dank!!

PS: In meinem Lösungsblatt steht als Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \frac{3(1+e^{x})^{1-3}}{1-3} \end{eqnarray*}$ , aber der Lösungsweg steht leider nicht dabei.

08.11.2010, 12:13

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung mit e-Funktion
Wieso willst du hier eine Partialbruchzerlegung machen, wo doch eine Substitution u = 1 + e^x deutlich einfacher ist?

08.11.2010, 12:29

Fred Krake

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Ich übe zur Zeit einfach alle drei Verfahren, Partialbruchzerlegung, partielle Integration und Substitution. Ich möchte sie gerne alle können und kriege dann hoffentlich ein Gefühl dafür, wann welches Verfahren am sinnvollsten ist. verwirrt

08.11.2010, 13:26

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlegung mit e-Funktion

Zitat:

Original von Fred Krake
$\begin{eqnarray*} \frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^3}=\frac{3}{(1+e^{x})^{2}}-\frac{3}{(1+e^{x})^{3}} \end{eqnarray*}$

Die Zerlegung mag zwar stimmen, ist aber wie ich schon sagte, ein ungeeignetes verfahren, wie du gleich bei der Bestimmung der Stammfunktion sehen wirst.

Zitat:

Original von Fred Krake
Die Stammfunktion lautet doch dann so, richtig?
$\begin{eqnarray*} \left[3*ln(1+e^{x})^{2}-3*ln(1+e^{x})^{3}+C\right] \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} 3*ln((1+e^x)^2) \end{eqnarray*}$ ableite, komme ich auf $\begin{eqnarray*} 3 \cdot \frac{2 \cdot (1+e^x) \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{6 \cdot e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$ , was ja wohl nicht das ist, was du integrieren wolltest.

08.11.2010, 14:08

Fred Krake

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Au weia. OK, dann hier mein Versuch mit Substitution:
$\begin{eqnarray*} 1+e^{x}=u\Rightarrow du=e^{x}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{x}=u-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{e^x}=\frac{du}{u-1} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}\,dx=\int\!\frac{3(u-1)}{u^{3}(u-1)}\,du=\int\!\frac{3}{u^3}\,du =[3*(-2)*u^{-2}+C]=[\frac{-6}{u^{2}}+C] \end{eqnarray*}$

Re-Substitution:
$\begin{eqnarray*} =[\frac{-6}{(1+e^{x})^{2}}+C] \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Ich weiß ja, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion gibt, aber kannst du mir sagen, wie die in meiner Lösung kommen auf:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}\,dx= [\frac{3(1+e^{x})^{1-3}}{1-3}+C] \end{eqnarray*}$

Das sieht zumindest aus, als hätten sie da eine sehr einfache Formel angewandt.
Grüße!

08.11.2010, 14:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Fred Krake
$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}\,dx=\int\!\frac{3(u-1)}{u^{3}(u-1)}\,du \end{eqnarray*}$

Das ist zwar formal ok, aber das Intermezzo mit dem (u-1) ist unnötig.

Zitat:

Original von Fred Krake
$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{3}{u^3}\,du =[3*(-2)*u^{-2}+C \end{eqnarray*}$

Hier solltest du nochmal das Integrieren üben.

Tipp: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode. In IE sieht das fürchterlich aus.

08.11.2010, 14:46

Fred Krake

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Hi, dann wohl eher:
$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{3}{u^{3}}\,du=[-3*\frac{1}{2}*u^{-2}+C]=[\frac{-3}{2u^{2}}+C] \end{eqnarray*}$ , oder? Wie der Weg in meiner Lösungsskizze zustande kommt, kannst du auch nicht nachvollziehen?

Und danke für den Tipp mit dem ie. Wink

08.11.2010, 14:54

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Die Stammfunktion stimmt jetzt. Und welche Lösungsskizze meinst du?

08.11.2010, 15:20

Fred Krake

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In meiner Lösung steht:
$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{3e^{x}}{(1+e^{x})^{3}}\,dx=[\frac{3(1+e^{x})^{1-3}}{1-3}+C] \end{eqnarray*}$

Weil keine Zwischenschritte dabei stehen, dachte ich, dass hier vielleicht eine Regel angewendet wird, die ich nicht kenne und die mir Rechenaufwand erspart.

Grüße

08.11.2010, 15:25

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Nun ja, das ist eine Lösung, aber nicht unbedingt mit einer nachvollziehbaren Herleitung. Augenzwinkern

08.11.2010, 16:35

Fred Krake

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Da bin ich ja beruhigt. ;-)
Nochmals vielen Dank für die Hilfe! smile

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