Maß auf Unteralgebra

08.11.2010, 14:59	Lisa123*	Auf diesen Beitrag antworten »
Maß auf Unteralgebra Meine Frage: Hallo, ich sitze gerade vor folgender Aufgabe: Sei (X, M,µ) ein Maßraum, M $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ M eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Unteralgebra und µ=µ\|M das darauf induzierte Maß. Man zeige: Für jede bezüglich M messbare Funktion f:X-->[0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ] gilt: $\begin{eqnarray} \int \end{eqnarray}$ fµ = $\begin{eqnarray} \int \end{eqnarray}$ fµ Meine Ideen: Meine Lösung dazu sieht folgendermaßen aus: Sei f:X-->[0, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ] eine bzgl. M messbare Funktion. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int \end{eqnarray}$ fµ = $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ f µ = $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ f µ* = $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ [M] f µ = $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ [M](x) f(x) µ<x> Da f messbar bzgl. M, gilt x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ [M](x) f(x) µ<x> = $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ 1 f(x) µ<x> = $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ f µ = $\begin{eqnarray} \int \end{eqnarray}$ f µ* Könnt ihr mir vielleicht sagen, ob das so geht. Ich bin mir an einigen Stellen nicht ganz so sicher. Vielen Dank! Lisa
08.11.2010, 17:11	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du bitte die Symbole erklären die du nutzt? Als Tipp: Zeige die Behauptung zuerst für einfache Funktionen, also $\begin{eqnarray} f(x)=\sum\limits_{i=1}^Na_i\cdot\chi_{A_i}(x) \end{eqnarray}$ für messbare Mengen $\begin{eqnarray} A_i\in M \end{eqnarray}$ , Zahlen $\begin{eqnarray} a_i\in\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \chi_{A_i} \end{eqnarray}$ die Indikatorfunktion von $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ . Dann via dem Grenzwert für nichtnegative messbare Funktionen.
08.11.2010, 20:08	Lisa123*	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deinen Tipp, System-Agent. Ich probier das ganze nochmal. Zu meinen Symbolen: µ = µ\| $\begin{eqnarray} _M \end{eqnarray}$ soll einfach nur heißen µ eingeschränkt auf M [M] bezeichnet bei uns die charaktersitische Funktion von M, also [M] = $\begin{eqnarray} \chi_M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_M \end{eqnarray}$ der gehört zum M, also M. Habs leider nicht anders hinbekommen, sorry. $\begin{eqnarray} \int_M* \end{eqnarray*}$ [M](x) f(x) µ<x> ist reine Notation, soll heißen, dass das ganze an einer Stelle x ausgewertet werden soll. Gruß Lisa
08.11.2010, 20:20	Lisa123*	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage besteht vor allem noch darin, ob folgende Folgerung stimmt f messbar bzgl M $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M

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