Folgen - Konvergenz (Ana I)

08.11.2010, 15:01	Automatrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen - Konvergenz (Ana I) Ich habe heute meine Vorlesung wegen eines Arzttermins verpasst, muss aber Mittwoch ein Übungsblatt abgeben. Wir hatten vor heute nichts zu Folgen und Konvergenz gemacht, aber ich hab mir Definitionen der letzten Ana I-Vorlesung (Vorjahr) angeguckt. Mir ist klar, was eine Folge ist. Muss ich zum Bestimmen von Konvergenz und Grenzwert bzw. Divergenz für jede Folge auf die Epsilon-Definition () zurückgreifen oder geht das auch einfacher? () Eine Folge a_n heißt konvergent gegen a aus R(eelle Zahlen), wenn für alle epsilon>0 gilt: es existiert ein N aus N(atürliche Zahlen), s.d. für alle n>N-1 gilt: \|a_n - a\| < epsilon. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} a_{n} = (-1)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Sei \epsilon>0, \epsilon<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Annahme: Sei N\in \mathbb N s.d. \forall n\geq N: \|a_{n} - a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Fall 1: N gerade, dann (N+1) ungerade => a_{N} = 1, a_{N+1} = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Es \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} gilt: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a_{N} - a\| = \|1-a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Außerdem \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} gilt: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a_{N+1} - a\| = \|-1-a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Fall 1a: a=1. Dann gilt: 0<epsilon und 2< epsilon. Widerspruch zu epsilon < 1. Fall 1b: a<1. Dann gilt: 1+a < epsilon und 1-a < epsilon Fall 1b.1: a>= 0: 1+a>=1<epsilon -> Widerspruch! Fall 1b.2: a<0: 1-a>1<epsilon -> Widerspruch! Fall 2: N ungerade: analog Es folgt: a_{n} ist divergent. Ist das korrekt? Wie mach ich das bei Folgen wie den folgenden? b_n = sqrt(n/(n+2)) c_n = (n+3)/(2n+1) d_n = (3^n + 2)/5^n e_n =(2n/3)^(-n) * n! Ich bin für Tipps und Hinweise sehr dankbar!
08.11.2010, 17:05	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst auf keinen Fall jedesmal die Definition bemühen. Dafür gibt es auch die Grenzwertsätze. Gerade die Divergenz die du nachweisen willst, könnte man viel einfacher darüber zeigen, dass wenn eine Folge gegen einen Grenzwert konvergiert, dann tut das auch jede Teilfolge der Folge. Aber in deinem Beispiel kannst du sehr leicht zwei Teilfolgen finden die nicht gegen dieselbe Zahl konvergieren. Ich müsste nochmal genau überlegen ob der Beweis soweit richtig ist, aber jedenfalls hast du den Fall $\begin{eqnarray} a>1 \end{eqnarray}$ vergessen.
08.11.2010, 23:10	Automatrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Hab' mir die Grenzwertsätze angeguckt und verstanden. Allerdings ist mir noch immer nicht klar, wie ich wirklich zeige, welche der folgenden gegen welchen Grenzwert konvergiert (auch wenn ich meine die Grenzwerte zu kennen). b_n = sqrt(n/(n+2)) = sqrt(n)/sqrt(n+2) -> 1 ... es ist anschaulich völlig klar, warum das so ist (der unterschied zw. zähler und nenner ist irgendwann marginal), aber ich weiß nicht, wie ich das ZEIGE. c_n = (n+3)/(2n+1)=(1 + 3/n)/(2 + 1/n)= (1+3(1/n))/(2+1/n)->1/2 ... wegen 1/n -> 0 ... korrekt? d_n = (3^n + 2)/5^n=3^n/5^n + 2/5^n= (3/5)^n + 2/5^n -> 0 ... wegen (3/5)^n -> 0 und 2/5^n -> 0 ... wie zeige ich, dass (3/5)^n und 2/5^n gegen 0 konvergieren? e_n =(2n/3)^(-n) n! = n!/(2n/3)^n = n! / ((2/3)^n * n^n) = n!/((2^n/3^n)n^n)=n!3^n/(2^n * n^n) ... ich würde behaupten, dass das gegen 0 konvergiert, weil der nenner soooooooooooo viel größer ist als der zähler. allerdings ist die behauptung kein beweis. hilfe? Ich habe dann noch: f_n = (sqrt(n+2)-sqrt(n))sqrt(n)=sqrt(n+2)sqrt(n)-n ... hier habe ich keine idee. Für Tipps und Hinweise bin ich wie immer dankbar!
10.11.2010, 18:29	Automatrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen?

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