Wurzel einer komplexen Zahl

08.11.2010, 16:35	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel einer komplexen Zahl Meine Frage: Hey Leute, ich schreib bald ein Test und bin mir noch etwas unsicher was komplexe Zahlen angeht, deswegen hab ich mir als Übungsaufgabe $\begin{eqnarray} \sqrt[17]{1+i} \end{eqnarray}$ genommen. Ihr sollt nun sagen, ob dass richtig ist und wenn nicht wie ich´s besser machen kann. Vielen lieben Dank im voraus Meine Ideen: Also ich hab das auf zwei verschieden Arten gemacht. Erst mal Betrag und Argument ausgerechnet. Da fängt´s schon an, dass ich mir nicht so sicher bin ob das so richtig ist. $\begin{eqnarray} \sqrt[17]{1+i} \Rightarrow arg= \sqrt[17]{2} , \phi = \frac{\pi }{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[17]{1+i}= \sqrt[17]{2}\cdot \left(cos( \frac{\pi }{4} ) + isin(\frac{\pi }{4}) \right) \end{eqnarray}$ Da jetzt 17 Lösungen entstehen müssten, stelle ich mir vor, dass es so weiter geht: $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt[17]{1+i}= \sqrt[17]{2}\cdot \left(cos( \frac{\pi }{4} +\frac{2\pi }{17} ) + isin(\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{17}) \right) \end{eqnarray}$ und dann immer um $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ erhöhen und das insgesamt 17 mal. Die andere Variante: $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt[17]{1+i}= \sqrt[17]{2}\cdot e^{i\frac{\frac{\pi }{2} + 2k\pi }{17} } \end{eqnarray}$ Wobei k von 0 bis 16 durchläuft
08.11.2010, 18:55	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm mag mir keiner sagen ob das richtig ist? oder ist das etwa so falsch, dass man das gar nicht aushalten kann??
08.11.2010, 19:07	hallos	Auf diesen Beitrag antworten »
ob jetzt k 0 oder 1 oder.... ist... es gibt dir jedesmal die gleiche lösung! e^(z+2ki*pi)=e^z für alle k aus den ganzen Zahlen!
08.11.2010, 19:11	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
bei der form e hoch 2pik ist mir das schon bewusst das ich da jede zahl nehmen kann als startwert, will ja nur wissen ob das so richtig ist
08.11.2010, 19:27	hallos	Auf diesen Beitrag antworten »
das ganze ( $\begin{eqnarray} \sqrt[17]{2}\cdot e^{i\frac{\frac{\pi }{2} + 2k\pi }{17} } \end{eqnarray}$ ) hoch .5 dann stimmts mit k = i*a und a aus den ganzen zahlen. sehe nur eine lösung, nicht 17.
08.11.2010, 19:33	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
okay?? aber graphischelösungen muss es doch 17 geben, weil es doch den einheitskreis 17mal unterteilt. Und wie kommt man auf das hoch 5?? das versteh ich gerade noch weniger...
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08.11.2010, 19:43	hallos	Auf diesen Beitrag antworten »
mit .5 meine ich 0.5=(1/2). 1+i=2^(1/2)+e^(pi/4) und nicht 2+e^(pi/2) unterteilt den einheitskreis 17 mal?
08.11.2010, 19:52	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
oh stimmt das ist mir gar nicht aufgefallen, dass ich da ein fehler gemacht hab. aber ist denn das obere richtig? und ich versteh immer noch nicht warum das bei der graphischenlösung nicht 17 lösungen ergeben muss, deswegen hab ich mir mal ein bild von wikipedia "geklaut" http://de.wikipedia.org/w/index.php?titl...=20100809195900
08.11.2010, 20:03	hallos	Auf diesen Beitrag antworten »
2^(1/34)+e^((pi/4+2k*pi)/17) mit k aus (0,...,17) sind die lösungen, sry
08.11.2010, 20:09	seppel	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm aber ich glaub jetzt bin ich wenigstens ein ganzes stückchen schlauer danke noch mal

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