Bedingte Wahrscheinlichkeit (Poisson-Verteilung)

08.11.2010, 17:20	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit (Poisson-Verteilung) Hallo, ich stecke mal wieder fest und brauch nen neuen Anstoß. Ich hab hier unabhängige, Poisonverteilte Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_i\sim Poi(\lambda_i),\ i=1,...,n,\ \lambda_1,...,\lambda_n>0 \end{eqnarray}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray} S_n:=\sum_{i=1}^n X_i = X_1+...+X_n \end{eqnarray}$ . Gesucht ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \mathbb P(\underline X=\underline k\|S_n=x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \underline X=(X_1,...,X_n)^T,\ \underline k\in\mathbb N_0^n, x\in\mathbb N_0 \end{eqnarray}$ . Also die Verteilung für die Poison-Verteilung ist $\begin{eqnarray} \mathbb P(X_i=k)=\frac{\lambda_i^k}{k!}e^{-\lambda_i}\ (k=0,1,...) \end{eqnarray}$ . Und die bedingte Wahrscheinlichkeit errechnet sich: $\begin{eqnarray} \mathbb P(\underline X=\underline k\|S_n=x)=\frac{\mathbb P(\underline X=\underline k \cap S_n=x)}{\mathbb P(S_n=x)}\ \ () \end{eqnarray}$ Mein Problem ist nun vor allem der Zähler von der rechten Seite von $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathbb P(\underline X=\underline k\cap S_n=x)=\mathbb P(\left(X_1=k_1,...,X_n=k_n\right)\cap X_1+...+X_n=x) \end{eqnarray}$ . Und hier komm ich einfach nicht weiter, denn es gilt ja keine Unabhängigkeit mehr (wegen $\begin{eqnarray} \cap S_n=x \end{eqnarray}$ ). Was kann ich tun? Oder muss ich gar einen ganz anderen Ansatz wählen? LG Max
08.11.2010, 17:28	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendes sollte helfen: Auf Ereignisebene ist $\begin{eqnarray} [X_1=k_1,\ldots,X_n=k_n,X_1+...+X_n=x] = \begin{cases} [X_1=k_1,\ldots,X_n=k_n] & \;\mbox{falls}\; k_1+\ldots+k_n=x \\ \emptyset & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten: Im ersten Fall ist die Summenbedingung sowieso erfüllt und kann daher weggelassen werden, im zweiten Fall ist sie schlicht unerfüllbar, sobald die ersten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Bedingungen gelten. Kleines Stichwort zum Abschluss: Multinomialverteilung
08.11.2010, 18:22	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort! Also ist $\begin{eqnarray} \mathbb P(\underline X=\underline k\|S_n=x)=\begin{cases} \frac{\mathbb P(X_1=k_1,...,X_n=k_n)}{\mathbb P(S_n=x)} & \text{falls }k_1+...+k_n=x\\0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ . Der neue Zähler kann dann berechnet werden, denn nun sind die Zufallsvariablen unabhängig. Das meinst du doch so, oder?
08.11.2010, 19:03	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt so.
08.11.2010, 22:04	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bins doch nochmal Also ich hab jetzt raus $\begin{eqnarray} \mathbb P(\underline X=\underline k\|S_n=x)=\begin{cases}\frac{\mathbb P(X_1=k_1,...,X_n=k_n)}{\mathbb P(S_n=x)}&\text{falls } k_1+...+k_n=x\\0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ Für den ersten Fall gilt dann $\begin{eqnarray} \frac{\mathbb P(X_1=k_1,...,X_n=k_n)}{\mathbb P(S_n=x)}=\frac{\prod_{i=1}^n\frac{\lambda_i^{k_i}}{k_i!}e^{-\lambda_i}}{\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}}=\frac{\prod_{i=1}^n \frac{\lambda_i^{k_i}}{k_i!}}{\frac{\lambda^x}{x!}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda:=\lambda_1+...+\lambda_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(=\frac{\prod_{i=1}^n \frac{\lambda_i^{k_i}}{k_i!}}{\frac{(\lambda_1+...+\lambda_n)^{k_1+...+k_n}}{(k_1+...+k_n)!}}\right) \end{eqnarray}$ . Das müsste soweit stimmen, aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass sich das noch vereinfachen lässt. Ich sehe aber nicht wie. Lässt sich da noch was machen?
08.11.2010, 22:20	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso entschwindet deine Definition des $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ von einer Zeile auf die andere? Setze $\begin{eqnarray} \sum k_i = x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\sum \lambda_i}{\lambda} = 1 \end{eqnarray}$
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08.11.2010, 22:36	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar muss ich das Stichwort nochmal wiederholen: Multinomialverteilung...
09.11.2010, 00:36	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Multinomialverteilung... Hab ich zuvor noch nichts von gehört, kannte also auch den Multinomialkoeffizienten noch nicht. Als Ergebnis hab ich nun raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\k_1,...,k_n\end{pmatrix}\prod_{i=1}^n \left(\frac{\lambda_i}{\lambda}\right)^{k_i} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{\lambda}=1 \end{eqnarray}$ gilt, erhalte ich also eine typische Multinomialverteilung! Also nochmal vielen Dank! Die richtigen Stichworte helfen manchmal schon sehr viel! Bis demnächst ;-)

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