C - Untervekttoraum von C^2

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fikus Auf diesen Beitrag antworten »
C - Untervekttoraum von C^2
Entscheiden Sie:

(A) Ist {(x,x):x in C} ein Untervektorraum des C - Vektorraums C^2
(B) Ist {(x,x):x in R} ein Untervektorraum des C - Vektorraums C^2
(C) Ist {(x,y):x,y in R, xy=0} ein Untervektorraum des R - Vektorraums R^2
(D) Ist {(x,y):x,y in R, x+y=0} ein Untervektorraum des R-Vektorraums R^2
(E) Ist {f in Abbildung (Q,Q): f(x)=f(-x) für alle x in Q} ein Untervektorraum des Q-Vektorraums Abbildung (Q,Q)


Idee:

öhm tja da wir das nur angerissen hatten und ich noch nicht so gut in CC klar komme hab ich eigtl keine Ideen so richtig...
---
Habe nur außer Vorlesung:

Sei V ein K-Vektorraum
Eine NICHT - LEERE Teilmenge U von V heißt ein Untervektorraum (K-Untervektorraum) von V wenn gilt,
(A) Für alle u,v in U gilt u+v in U
(B) Für alle u in U, alpha in K gilt alpha * u in U
---
also zu (A) von der aufgabe

Teilmenge U von C^2 ist der Untervektorraum {(x,x):x in C}
1. U ungleich leere MEnge
2. für alle x,x aus U gilt x+x in U
trifft zu, da x in U insbesondere in C. wenn man x mit x addiert folgt wieder eine lösung in U insbesondere in C
3. für alle x in U und alpha in C^2 gilt alpha * x in U
trifft auch zu, da x in U insbesondere in C und alpha in C^2 , insbesondere in C also muss das produkt der beiden auch in C liegen also auhc in U
org Auf diesen Beitrag antworten »
RE: C - Untervekttoraum von C^2
2. für alle x,x aus U gilt x+x in U
trifft zu, da x in U insbesondere in C. wenn man x mit x addiert folgt wieder eine lösung in U insbesondere in C

Das müsste so aussehen:
Sei (x,x) und (y,y) in U, zu zeigen: (x,x)+(y,y) in U.


3. analog
 
 
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

mh okay und das ist nun zu zeigen
soll ihc das dann zeigen wie ich es schon getan hab?
also x in U insbesondere in C usw oder wie? (C=komplexe zahlen)
org Auf diesen Beitrag antworten »

??

Du musst das zeigen, was oben steht...
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

äh okay kannste mir dann bitte mal sagen wie ich das zeigen soll hab iwie gar kein durchbilck
org Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib (x,x)+(y,y) in "eine Klammer"/als einen Vektor.
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

also R² ist eine Teilmenge von C², da die komplexen zahlen immer einen Realteil besitzen und dieser aus den Reelen Zahlen stammt würde ich sagen.

R eine Menge für deren Elemente Addition und Skalarmultiplikation definiert sind,

x+y aus R für alle x,y aus R und alpha * x aus V und für alle alpha aus R

R² reeller vektorraum falls

1) (x+y)+z = x+(y+z) für alle x,y,z aus R
2) x+y = y+x für alle x,y aus R
3) es gibt mind. ein 0 aus R mit: x+0=x=0+x für alle x aus R
4) für alle x aus R gibt es mind. ein y aus R mit: x+y = 0
5) alpha * (beta *x)=(alpha*beta)*x für alle x aus R und für alle alpha, beta aus R
6) 1*x=x für alle x aus R
7) alpha* ( x+y)= alpha*x+alpha*y für alle x,y aus R und für alle alpha aus R
8) (alpha+beta)*x= alpha*x+beta*x für alle x aus R und für alle alpha,beta aus R

Und da R eine abelsche Gruppe ist und die Distributivgesetze gelten und es ein NUll und ein inverses gibt erfüllt R² die vektorraumaxiome
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

so, jetzt haben wir die aufgabe auch vollständig...

aber keine aufgabe lautet, dass du zeigen sollst, dass der ein unterraum des ist.


also alles am anfang...


betrachten wir zuerst einmal die Aufgabe (A), da hat org schon was zu geschrieben...


betrachtet seien alle vektoren aus von denen beide einträge gleich sind, bilden diese einen unterraum?

hier sind eigentlich ganz stumpf die vektorraumaxiome nachzuprüfen.....

fang mal an, und sag, wann du nicht weiterkommst....
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

(A)

x aus C also muss ich jetzt alle axiome durchgehn die ich eben aufgelistet habe
dann muss ich mir noch y aus c und z aus c nehmen

(x+y)+z=x+y+z=x+(y+z)

ist das jetzt schon der beweis?
ich weiß echt nicht wie ichs angehn soll verzweifle schon den ganzen tagunglücklich

oder muss ich

((x,x)+(y,y))+(z,z)= (x+y, x+y) + (z,z)= (x+y+z, x+y+z)
und jetzt noch x+(y+z)= x+(y+z,y+z)=(x+y+z,x+y+z)

als beweis schreiben für das erste axiom?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

nein, du kannst sicherlich argumentieren, dass das assoziaivgesetz in gilt und damit auch in jeder teilmenge, also für alle beliebigen vektoren.

wenn man das zeigen will nimmt man drei vektoren heraus:



nun zeigt man das assoziativgesetz folgendermaßen:

.

schaue nun, ob der nullvektor in deiner menge liegt, wenn ja, warum?

liegen die negativen auch in deiner menge?
fikus Auf diesen Beitrag antworten »



der nullvektor liegt in meiner menge, weil x aus c auch null sein kann



also liegen die negativen auch in der menge

oder wie soll ich das aufschreiben?

ps. unsere tutorien sind nicht gerade gut hier ist ungefähr die einzige stelle wo ich so wahrscheinlich dumme fragen stellen kann aber ich weiß es einfach nicht....
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

bei deinen vektoren sind die beiden einträge gleich, also liegt der nullvektor in deiner menge, nämlich für x=0 ist (x,x)=(0,0).

ebenso liegt der vektor (-x,-x) in deiner menge, auch hier sind beide einträge gleich.

kommutativgesetz ist trivial, weil es auch in gilt, also auch für jede teilmenge.

müssen wir also noch diese ganzen gesetze mit den skalaren überprüfen, ist auch nicht sooo schwer, da die multiplikation auch in gilt, also untervektorraum.

wir können nun abschließend sagen:

wenn wir eine teilmenge eines vektorraums haben müssen wir einige gesetze nicht nachweisen, wir können sie aus dem vektorraum "importieren".

welche sind das?

welche muss man also explizit prüfen?
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

man müsste dann die distributivgesetze prüfen oder?
den rest kann man importieren, kommutativ, assoziativ, null, negativ und skalare
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

distributivgesetz...? verwirrt

das gibt es in Vektorräumen doch gar nicht....

zu nullvektor und die "negativen" vektoren kannst du dir mal überlegen, ob jede beliebige teilmenge eines vektorraums denn automatisch den nullvektor oder die negativen elemente enthält.

was richtig ist, du kannst das kommutativgesetz importieren und das assoziativgesetz...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
distributivgesetz...? verwirrt

das gibt es in Vektorräumen doch gar nicht....


Das Distributivgesetz der skalaren Multiplikation Augenzwinkern
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

ne das stimmt nicht negative vektoren können die aus der teilmenge der natürlichen zahlen nicht haben.
bei Q kann es eigtl keinen 0 vektor geben wenn es 1/0 ist
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

wir sind immer noch bei "+", wie du jetzt auf teilen kommst...

wir betrachten mal den .

die menge

ist eine teilmenge des vektorraums, in ihr gilt mit sicherheit das assoziativgesetz und das multiplikativgesetz, aber der nullvektor ist nicht drin und die negativen auch nicht.

ebenso ist die menge nicht abgeschlossen gegen skalarmultiplikation, aber die gesetze der skalarmultiplikation würden auch in ihr gelten, wenn sie denn abgeschlossen wäre.

was ist also zu prüfen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
wir sind immer noch bei "+", wie du jetzt auf teilen kommst...

wir betrachten mal den .

die menge

ist eine teilmenge des vektorraums, in ihr gilt mit sicherheit das assoziativgesetz und das kommutativgesetz, aber der nullvektor ist nicht drin und die negativen auch nicht.

ebenso ist die menge nicht abgeschlossen gegen skalarmultiplikation, aber die gesetze der skalarmultiplikation würden auch in ihr gelten, wenn sie denn abgeschlossen wäre.

was ist also zu prüfen?


edit: falscher button, entschuldige den doppelpost....
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid aber ich weiß es einfach nicht...sitze schon den ganzen tag daran..

danke für deine hilfe aber ich bin durch^^ geschockt

kannste vllt nur kurz sagen was richtig und was falsch ist von a-e?

Gott
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

was bringt es dir, wenn du nicht weißt, warum der ein oder andere ein UVR ist oder auch nicht?

kannst dir ja noch mal gedanken machen und dann geht es morgen weiter Augenzwinkern
fikus Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss die aufgabe morgen inner uni um 8 abgeben^^ vllt komm ich mit den lösungen schneller auf den weg
ich weiß das ist blöd aber mir rennt die zeit davon... traurig
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir echt leid für dich, aber dann musst du dich früher melden...

das sind auch wirklich keine schweren aufgaben....

also:



(C) ist nicht abgeschlossen gegen addition also kein UVR

(D) ist UVR

zu (E) kannst du dir noch selbst gedanken machen, überprüfe, ob:

1) abgeschlossen gegen addition und skalarmultiplikation

2) 0 da drin liegt (wie sieht die funktion aus?)
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