Hoch/Tiefpunkt bestimmen und Gauß-Verfahren

Neue Frage »

Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »
Hoch/Tiefpunkt bestimmen und Gauß-Verfahren
Meine Frage:
Hallo,
ich verstehe nicht wie man Hoch und Tiefpunkte und Wendepunkte mittels dem hinreichenden Kriterium bestimmt.
Außerdem habe ich eine Frage beim Lösen von Linearen Gleichungsystemen mit dem Gauß-Verfahren. Was macht man, wenn man 4 Gleichungen hat mit jeweils nur 3 Variablen. Mann muss die Variablen ja nacheinander "wegbekommen".Aber in der letzten Zeile ist doch dann keine mehr übrig.

Meine Ideen:
Hoch und Tiefpunk bestimmen:
f(x)=x^5-5x^3+10x-2
f'(x)= 5x^4-15x^2+10
Gleichung 0 setzen:
5x^4-15x^2+10=0 :5
x^4-3x^2+2=0 -2
x^4-3x^2=-2 weiter weiß ich nicht..

Gauß Verfahren:
5x+6y-2z=-9
x-4y+3z=7
4x+ y-7z=10
2x-5y+4z=9
Da weiß ich garnicht, wie ich anfangen soll. Wenn ich erst alle x wegmache dann die y und dann die z bleibt für die letzte Zeile doch nicht mehr übrig..
Ich hoffe ihr versteht mich und könnt mir helfen.smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Lass die Gaußaufgabe erstmal weg, konzentrier dich auf eine Aufgabe, ansonsten ist das nur verwirrend.

Lös die entstehende Gleichung von f'(x)=0 doch mal nach x auf (Tipp: Substitution), danach können wir weitermachen. smile
 
 
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich versuchs mal:
Soll ich das am besten mit ausklammern machen?
x^2 (x^2-3) +2=5 -2
x^2 (x^2-3)= 3 -3
x^2 (x^2) =0
x^4 =0 :x^4
x=1?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena11
Soll ich das am besten mit ausklammern machen?
x^2 (x^2-3)= 3 | -3
x^2 (x^2) =0


Nein, so kannst du das nicht machen, du müsstest wenn auf beiden Seiten 3 subtrahieren. Allerdings frage ich mich, wie du schon auf die erste Gleichung kommst... verwirrt

Beachte doch meinen Tipp mit der Substitution, Ausklammern wird dir hier nicht weiterhelfen.
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x)=5x^4-15x^2+10

z²=x^4 (substitution ? )

5z² - 15 z + 10= 0 ? : 5 und dann mit pq formel?
z² -3z + 2 = 5 wieder -5 damit man 0 hat und pq anwenden kann?
z² -3z -3= 0
1,5 +/- wurzel aus 2,25 + 3
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Substitution ist richtig. smile

Du musst am Ende aber natürlich wieder Re-Substituieren, du hast ja jetzt die Werte für z ausgerechnet, du musst das jetzt wieder auf x umrechnen.
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

aber wenn ich die Wurzel ausreche kommt da ne ganz lange Kommsazahl raus-bestimmt falsch oder? 3,791287847
Wie löse ich die Substitution wieder? smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena11
5z² - 15 z + 10= 0 ? : 5 und dann mit pq formel?
z² -3z + 2 = 5 wieder -5 damit man 0 hat und pq anwenden kann?


Wo kommt auf der rechten Seite auf einmal die 5 her? Ist mir erst jetzt aufgefallen...

Zur Resubstitution setzt du wieder ein.
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 5 auf der rechten seite steht da weil ich doch durch 5 geteilt habe. Achso das ist falsch weil 0:5 ja 0 ist. hab erst gedacht das wären dann 5 Forum Kloppe

x^2 - 3x + 2= 0
Pq : 1,5 + - wurzel 2,25 - 10 das geht nicht auszurechnen, weil die wurzel negativ ist. Was ist daran denn falsch?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das q falsch, q=2, nicht q=10. Augenzwinkern
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso stimmt Augenzwinkern Also wären das dann 1,5 wurzel aus 2,25-2
das was ich daraus habe ist dann wenns negativ ist ein hochpunkt und wenns positiv ist ein tiefpunkt oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, erstmal musst du Resubstituieren. Und ob es ein Hoch/Tiefpunkt ist, sagt dir die hinreichende Bedingung, dafür brauchst du die zweite Ableitung.
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

ist die resubstitution richtig: x1=2 =4 ? x2=1 =1 einfach quadrieren oder?
dann muss man doch die beiden x die man raus hat, in die 2. ableitung einsetzen, um den Hoch/tiefpunkt zu bekommen oder?
Und was macht man dann mit der 3. ? was ist eine hinreichende bedingung?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena11
ist die resubstitution richtig: x1=2 =4 ? x2=1 =1 einfach quadrieren oder?


Nicht quadrieren, die Wurzel ziehen Augenzwinkern

Du hast ja gesetzt, also musst du die Wurzel ziehen um die Werte für x zu bekommen. smile

Hinreichendes Kriterium ist ein anderer Ausdruck für die hinreichende Bedingung, und du hast natürlich Recht, die dritte Ableitung brauchen wir für die Extrempunkte natürlich nicht.
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke smile
die wurzel aus 2 ist dann aber ne ganz lange Kommazahl verwirrt wie soll ich mit so einer zahl denn wieterrechenen: 1,414213562
wuzel aus 1 = 1
soll ich die beiden Zahlen jetzt in die 2. ableitung setzen?
Ich weiß aber auch nicht was ein hinreichendes kriterium ist Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Lass es einfach als Wurzel stehen, damit ist das Rechnen einfacher. Und es gibt jeweils zwei Lösungen: , das gleiche gilt für .

Du beschreibst die ganze Zeit das hinreichende Kriterium.

Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: , das haben wir ausgerechnet und 4 mögliche Extremstellen erhalten. Wieso nur möglich? Es kann vorkommen, dass die Ableitung an einer Stelle den Wert 0 annimmt, der Graph der Funktion aber trotzdem keinen Hoch/Tiefpunkt hat (Stichwort: Sattelpunkt). Aber: damit es überhaupt eine Extremstelle sein kann, muss die erste Ableitung an dieser Stelle den Wert 0 annehmen.

Hinreichende Bedingung für eine Extremstelle: , wir überprüfen die möglichen Extremstellen, indem wir sie in die zweite Ableitung einsetzen. Für haben wir einen Tiefpunkt, für haben wir einen Hochpunkt. Sollte aber sein, so können wir noch keine Aussage über die Art des Punkts treffen, dann müsste man noch weitere Methoden anwenden.
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung smile
f''=20x-30x 20*wurzel2-30*wurzel2 = -10 wurzel 2
ist also ein Hochpunkt, weil es ja größer als 0 ist oder?
Welche sind denn die 4 möglichen extremstellen? Bis jetzt hab ich doch nur wurzel aus 2 und 1
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Und es gibt jeweils zwei Lösungen: , das gleiche gilt für .


Da steht, wie du an die 4 möglichen Extremstellen kommst Augenzwinkern

Und deine zweite Ableitung hat einen Fehler, du hast einen Exponenten verschlampt: .
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso smile
Aber die 2. ableitung müsste doch f''= 20x²+30x heißen oder? Wie kommst du auf 15? in der ersten steht ja 15x²..
Was muss ich dann machen,wenn ich das da eingesetzt habe?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena11
Wie kommst du auf 15? in der ersten steht ja 15x²..


Heute scheint nicht mein Tag zu sein...ja, die zweite Ableitung lautet natürlich .

Wenn du eingesetzt hast, musst du nur das Ergebnis, was du erhältst, richtig interpretieren (ist es ein Hochpunkt, ist es ein Tiefpunkt?), wenn du das gemacht hast, ist der letzte Schritt die Berechnung der zugehörigen y-Koordinaten. smile
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

20*wuzel2 ^3 - 30*wuzel2 =10wuzel2
Das ist dann ein Tiefpunkt oder? wie gehts dann weiter?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt musst du nur noch die zugehörige y-Koordinate bestimmen. smile
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie macht man das?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Na, einfach den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen Augenzwinkern
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

in welche denn? wurzel2 in die der ersten ableitung? smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, in die Funktionsgleichung. Schließlich willst du ja die Koordinaten des Extrempunkts bestimmen, nicht die Steigung (die kennen wir ja schon).
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

ok..
f(x)= x^5-5x^3+10x-2 wurzelaus 2^5-5*wurzel2^3+10*wurzel2 -2=3,656854249 das kann ja nicht richtig sein...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist durchaus richtig, aber: lass auch hier die Wurzelausdrücke stehen Augenzwinkern

Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn so eine aufgabe in der Klausur dran kommt, werde ich die garantiert falsch haben^^
y= 4wurzel2 -2 ist jetzt der Tiefpunkt bei wurzel2/ 4wurzel2 -2 ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da liegt ein Tiefpunkt. smile

Und zur Klausur: so etwas ist einfach Übungssache.
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber ich hab leider nicht mehr viel zeit:-(
kannst du mir noch erklären, wie man einen Wendepunkt berechnet? Also nur die Schritte. Und dann vielleicht noch meine Frage zum Gauß-Verfahren? Wäre wirklich sehr lieb:-) Und vielen Dank für deine bisherige Hilfe smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena11
kannst du mir noch erklären, wie man einen Wendepunkt berechnet? Also nur die Schritte.


Das sind im Prinzip die selben Schritte wie bei der Bestimmung der Extrempunkte, du machst nur einen Strich mehr bei den Ableitungen Augenzwinkern

Konkret:
Notwendige Bedingung:
Hinreichende Bedingung:

Für das Gauß-Verfahren solltest du einen neuen Thread aufmachen, da das eine neue Aufgabe ist. smile
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

also löse ich einfach die 2. ableitung auf und setze das ergebnis dann in ie 3. ein oder? und um y rauszubekommen dann wieder in die anfangsfunktion ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. smile
Lena11 Auf diesen Beitrag antworten »

gut smile vielen Dank für deine Hilfe smile Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »