Ordnung der natürlichen Zahlen

08.11.2010, 19:20

Erbsenzähler

Ordnung der natürlichen Zahlen

Hey Leute,

ich brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Es ist zu zeigen, dass genau eine dieser Aussagen gilt:

$\begin{eqnarray*} a < b, a = b, b < a \end{eqnarray*}$

Meine Ideen bisher waren zum einen die beiden Umformungen

$\begin{eqnarray*} a + x = b \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b + x = a \end{eqnarray*}$
(wobei ich mit diesen beiden Termen irgendwie nicht weiterkomme..)

und zum anderen habe ich mir überlegt,
dass man ja eigentlich eine Totalordnung zeigen muss, oder?

08.11.2010, 19:29

tmo

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Wie habt ihr denn a<b definiert? $\begin{eqnarray*} a<b \Leftrightarrow \exists x \in \mathbb N: a+x=b \end{eqnarray*}$ ?

Ich würds dann mal mit einer Induktion über b versuchen.

08.11.2010, 20:25

Erbsenzähler

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Zitat:

Original von tmo
Wie habt ihr denn a<b definiert? $\begin{eqnarray*} a<b \Leftrightarrow \exists x \in \mathbb N: a+x=b \end{eqnarray*}$ ?

Ich würds dann mal mit einer Induktion über b versuchen.

Ja, a < b haben wir so definiert.
Eine Induktion über b würde doch aber nur zeigen, dass nur dieser eine Fall gilt verwirrt

In der Aufgabenstellung steht übrigens $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

08.11.2010, 20:48

tmo

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Du zeigst induktiv über b:

Für jedes $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt: Für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt entweder $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ .

Damit ist die Aussage bewiesen. Das musst du also nur noch tun. Fange mit b=1 an.

08.11.2010, 21:02

Erbsenzähler

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Induktionsanfang:

Für b=1:

$\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ gilt für a=0
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt für a=1
$\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ gilt für a>1

Induktionsannahme:

Für b=n

$\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ gilt für a<n
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt für a=n
$\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ gilt für a>n

Induktionsschritt:

Für b=n+1

$\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ gilt für a<n+1
$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gilt für a=n+1
$\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ gilt für a>n+1

So vielleicht?

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