berechnung des bilds einer matrix

08.11.2010, 19:22

defect

berechnung des bilds einer matrix

hallo,

ich soll bei einer aufgabe das bild und die basis einer matrix berechnen. ich bin bisher so vorgegangen, dass ich die matrix transponiert habe und auf zeilenstufenform gebracht habe, anschließend habe ich die matrix wieder zurückgeschrieben(retransponiert (wenn das so heißt) und diese widerum auf zeilenstufenform gebracht.

nun müssten doch die linear unabhängigen spalten die basisvektoren sein oder? diese ergeben widerum das bild. stimmt das soweit?

jemand hat mir nun erklärt man könne auch einfach die matrix transponieren, mit gauss entsprechend auflösen und die basisvektoren anhand der zeilen ablesen, die nicht null sind.

was stimmt denn nun davon? ich dachte eigentlich beim bild muss man auf linear unabhängige vektoren achten, wegen der basis.

wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.

08.11.2010, 19:33

tigerbine

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RE: berechnung des bilds einer matrix
Hallo,

klemmt die Shift-Tast? verwirrt

[Artikel] Basis, Bild und Kern

Deine Idee stimmt. Aber hast du so einen Röntgenblick, dass du sofort die lu Vektoren auf Anhieb siehst? verwirrt

Daher sucht man ein Verfahren, siech welche zu erzeugen. Wink

08.11.2010, 20:09

defect

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RE: berechnung des bilds einer matrix
danke für den link!

aber irgendiwe bin ich immer noch verwirrt. So sieht meine transponierte Matrix A^t aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

umgeformt sieht sie so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also sind die basisvektoren :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann wäre meine Idee mit dem retransponieren doch eher umständlich, oder?

Stimmt das denn so?

08.11.2010, 20:19

tigerbine

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RE: berechnung des bilds einer matrix

Zitat:

ich bin bisher so vorgegangen, dass ich die matrix transponiert habe und auf zeilenstufenform gebracht habe, anschließend habe ich die matrix wieder zurückgeschrieben(retransponiert (wenn das so heißt) und diese widerum auf zeilenstufenform gebracht.

Ja, da sind dann Schritte zu viel. Ich hatte mich auf

Zitat:

nun müssten doch die linear unabhängigen spalten die basisvektoren sein oder? diese ergeben widerum das bild. stimmt das soweit?

bezogen. Nun zu der aktuellen Rechnung. Die Matrix hat Rang 3. Also suchen wir 3 lu 3x1 Bildvektoren.

Der erste Vektor ist gerade das Bild des ersten EV. Freude

Der Rest sollte auch stimmen.

08.11.2010, 21:12

defect

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Sehr gut, dann bin ich ja froh! Danke soweit.

Jetzt muss ich nochmals wegen dem Kern fragen.

Die Matrix A lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & -4 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt ja : Av = 0.

Das ganze wird nun auf Stufenform gebracht und herauskommt bei mir:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und hier komme ich nicht weiter. Weiter auflösen geht nicht und ich habe drei unbekannte in der 2.Zeile. v2 , v3 , v4.
Man hat mir gesagt, dass ich nur eine Unbek. frei wählen kann. Aber wie geht das hier?

Meiner Meinung nach könnte man v2 und v4 zB durch s und t ersetzen, entsprechend einsetzen und daraus die Basis des Kerns ablesen. Geht das?

bin für weitere Hilfe dankbar!

09.11.2010, 16:19

defect

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hallo,

ich warte noch auf eine antwort. wäre nett, wenn ich nochmal hilfe bekommen würde.

besten dank bis dahin!

09.11.2010, 16:22

tigerbine

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Man wählt sie einfach. Augenzwinkern

Super kreativ: x4=t. Beispiel

09.11.2010, 17:17

defect

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gut, ich habs mal so probiert, hoffentlich ists richtig.

Also, die Matrix ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & -4 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & -4 & -1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} v1 \\ v2 \\ v3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Umgeformt nach Gauss:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das GLS ist:

2x1 + x2 -x3 +2x4 = 0
3x2 + 5x3 + 8x4 = 0

Ich wähle also für x3 = s und x4 = t.

Ich komme durch einsetzen auf folgendes:

x1 = $\begin{eqnarray*} \frac{-3s-8t}{10} \end{eqnarray*}$

x2 = s

x3 = $\begin{eqnarray*} \frac{-3s-8t}{5} \end{eqnarray*}$

x4 = t

Die Basis ist dann :

s* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8/10 \\ 1 \\ -3/5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -18/10 \\ 0 \\ -8/5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe das Gefühl es ist stimmt nicht. Was ist falsch?

09.11.2010, 17:19

tigerbine

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Wie schon in der Schule gilt, mach die Probe. Liegen deine Basisvektoren im Kern? Einsetzen und nachrechnen. Augenzwinkern

09.11.2010, 18:27

defect

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hallo,

mit Probe ist gemeint in die Def. des Kerns einsetzen oder? Anschließend werden s und t ausgerechnet.

Eine dämliche Frage, ich weiß. Will nur nochmal sichergehen.

danke soweit schonmal !!

09.11.2010, 22:15

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8/10 \\ 1 \\ -3/5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -18/10 \\ 0 \\ -8/5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einsetzen. Kommt der Nullvektor raus?

10.11.2010, 17:50

defect

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für s und t bekomme ich 1.

Dieses eingesetzt, ergibt bei mir bei allen 3 Gleichungen:

0=0

Also liegen die Vektoren auch in der Basis.

Danke! Die Aufgabe ist somit auch gelöst. Augenzwinkern

10.11.2010, 17:52

tigerbine

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Bitte.

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