Komplexe Betragsgleichung

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n! Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Betragsgleichung
Hallo zusammen

Habe hier folgendes Problem. Zu bestimmen sind alle komplexen Zahlen a,b mit



Wie kann man hier am besten vorgehen? Vielleicht über Polarform?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von n!
Vielleicht über Polarform?

Gute Idee! Setze an




Im weiteren dürfte dann sowie hilfreich sein. Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Rene,

Danke für die Ansätze. Ich sehe jetzt leider nicht aus dem Stehgreif, wie ich da weiter vorgehen kann.

Ich muss ja an die Winkel kommen oder nicht?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du meine Tipps befolgst, kriegst du eine sehr konkrete Beziehung zwischen den Argumenten von a und b heraus, und für deren Beträge zumindest eine Ungleichung.

Vielleicht hilft es noch ein wenig weiter, wenn du statt der obigen beiden Argumente

und

betrachtest, dann ist ja

,

dann sind die Aussagen etwas deutlicher. Aber jetzt mal selber ran!


EDIT: Ok, es geht auch etwas einfacher, wenn man sich das ganze mal ein wenig in der Gaußschen Zahlenebene aufzeichnet. Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, sorry. Bin etwas verwirrt gerade. Weiß momentan nicht, wie ich anfangen muss.

Aber du musst nicht weitere Tipps geben, wenn du denkst, dass die schon ausreichen smile
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach nochmal einen Neustart:

Im Fall ist die Gleichung immer erfüllt, egal wie groß ist.

Im Fall sei und man betrachte folgende Skizze in der Gaußschen Zahlenebene:

[attach]16565[/attach]

Betragsgleichheit von und ist äquivalent dazu, dass senkrecht auf steht, algebraisch formuliert: Dass es eine reelle Zahl mit gibt. Das kann man nun noch nach umformen und erhält eine gut fassbare Bedingung zwischen und .
 
 
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Mühe, Rene.

Geometrisch ist mir das klar jetzt, also, dass c senkrecht auf a stehen muss.

Aufgelöst nach b erhalte ich

wobei mir dir algebraische Seite noch etwas Probleme macht.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von n!
Aufgelöst nach b erhalte ich

, ein kleines, aber wichtiges Detail.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

also sind die gesuchten (a,b) genau diejenigen, die sich für ein reelles t so schreiben lassen?

EDIT: Und wann immer , sind die Beträge ungleich richtig?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig - aber genau formuliert wäre es so: Die Beträge sind genau dann gleich, wenn

n! Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay. Aber da folgt das eine aus dem anderen oder?
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@Rene

Sorry, dass ich nochmal nachharke. Wie genau kommst du auf die Gleichung mit den Argumenten eigentlich?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte sich zunächst darauf verständigen, daß man sich überall, wo der Wurzelterm auftritt, für denselben der beiden möglichen Werte entscheidet. Dann könnte man umformen:







Wenn man jetzt quadriert, was allerdings keine Äquivalenzumformung mehr ist, bekommt man nach Vereinfachen



Und wenn man die komplexen Zahlen und mit Vektoren des identifiziert, könnte man noch weiter rechnen:



Die Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind unter den Lösungen der letzten Gleichung zu finden.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Man sollte sich zunächst darauf verständigen, daß man sich überall, wo der Wurzelterm auftritt, für denselben der beiden möglichen Werte entscheidet.

So und nicht anders habe ich es aufgefasst, ja.

Zitat:
Original von Leopold
Die Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind unter den Lösungen der letzten Gleichung zu finden.

Gut formuliert - die Umkehrung stimmt nämlich nicht, wie etwa zeigt:





P.S.: entspricht "zur Hälfte" der og. Bedingung .

Allerdings beinhaltet ersteres auch noch die Fälle sowie , letzteres auch keine Lösung der Aufgabe.
n! Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Betragsgleichung
Also ist die Äquivalenz von



und



nicht richtig???
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

"Also" ???

Danke für das Vertrauen - na dann weiter mit Leopold.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Nein Rene, so war das natürlich nicht gemeint. Du hast mir bisher echt gut weitergeholfen, danke dafür.

Mich verwirrt nur die Argumentation mit dem Winkel, bzw. ich weiß nicht, wie du auf deine ursprüngliche Gleichung mit dem Argument gekommen bist. Kannst du darauf nochmal eingehen?

EDIT: was ist jetzt äquivalent zu der Betragsgleichheit?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht doch noch ein letzter Versuch. Es sieht so aus, als ob du mit den Argumenten komplexer Zahlen irgendwie nicht zurechtkommst, dann mal anders. Basierend auf

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von n!
Aufgelöst nach b erhalte ich

, ein kleines, aber wichtiges Detail.

kann man umformen:



Da kann man zwei Sachen ablesen:

1) muss reell sein, und in der Folge dann
2) es muss gelten.

Das ist jetzt nun die genaue Charakterierung aller Lösungen mit (über die mit hatte ich ja oben schon gesprochen).
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@Rene,

Vielen Dank. Jetzt sind beide Bedingungen klar smile

Wenn man sich a und t vorgibt und mit der obigen Gleichheit damit b berechnet, ist die Winkelbedingungen ja immer erfüllt. Bei der Abschätzung braucht man sie aber.
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