Basen und Matrix

08.11.2010, 19:38

Taladan

Basen und Matrix

Hallo,

ich habe mal wieder eine Frage zu Basen und Matrix.
Gegeben ist
$\begin{eqnarray*} V=<\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}>, W= <\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ als Unterraum von $\begin{eqnarray*} M_{22}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

Ich soll eine Basis von V+W und V geschnitten W bestimmen
Ist folgendes korrekt

$\begin{eqnarray*} V+W=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Basis ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und V geschnitten W ist dann {0}, also der Nullvektor? Weil V und W keine Übereinstimmung haben und damit keine Schnittmenge?

08.11.2010, 19:50

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix

Zitat:

Original von Taladan
Und V geschnitten W ist dann {0}, also der Nullvektor? Weil V und W keine Übereinstimmung haben und damit keine Schnittmenge?

Nein, denn UVRs haben immer einen nichtleeren Schnitt. Der besteht zumindest aus dem Nullvektor des VRs. Hier also der 2x2Nullmatrix.

Bei der summe V+W benutzen wir auch, dass wir in einem VR ja immer die Nullmatrix wählen können. Deswegen konntest du ja einfach abschreiben. Nun muss man lu auswählen. Wie bist du da vorgegangen?

08.11.2010, 20:30

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix

Zitat:

Original von tigerbine
Nein, denn UVRs haben immer einen nichtleeren Schnitt. Der besteht zumindest aus dem Nullvektor des VRs. Hier also der 2x2Nullmatrix.

Ok, ich hatte oben auch gemeint, das das ergebnis der Basis eine Nullmenge ist. Allerdings habe ich nicht gewußt, das die einen nichtleeren Schnitt haben.

Zitat:

Original von tigerbine
Bei der summe V+W benutzen wir auch, dass wir in einem VR ja immer die Nullmatrix wählen können. Deswegen konntest du ja einfach abschreiben. Nun muss man lu auswählen. Wie bist du da vorgegangen?

1. Was ist lu?
2. Wie bin ich vorgegangen? Ich habe einfach alle Vektoren zusammengefügt und da bereits drei Einheitsmatrizen in der Gesamtmenge vorhanden sind, habe ich geguckt ich nicht mit dem vierten ein Erzeugendensystem bilden und damit die anderen beiden abbilden kann, denn ein EZS von einer 2x2 Matrix hat ja Vier Vektoren. Kurz, ich war faul und hab einfach die einfachste Variante genommen.

08.11.2010, 20:34

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix

Zitat:

Original von Taladan

Zitat:

Original von tigerbine
Nein, denn UVRs haben immer einen nichtleeren Schnitt. Der besteht zumindest aus dem Nullvektor des VRs. Hier also der 2x2Nullmatrix.

Ok, ich hatte oben auch gemeint, das das ergebnis der Basis eine Nullmenge ist. Allerdings habe ich nicht gewußt, das die einen nichtleeren Schnitt haben.

Was verstehst du unter Nullmenge (da gehört der Begriff hin)? Du magst das richtige meinen, aber ich will dir ja auch die richtigen Worte dafür sagen. Augenzwinkern

Ok, dann weißt du beim Rest ja, was du getan hast und es war nicht nur geraten. Konnte man so nicht ersehen. Augenzwinkern

09.11.2010, 19:50

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix
Die Nullmenge ist einfach nichts. Ein leeres Glas, wo nichts drin ist (auser der Luft, die ich auch noch abziehe).

Wenn der Nullvektor innerhalb des Schnittmenge von disjunkten (ich hoffe das ist das richtige Wort) Mengen von Matrizen liegt. so folgt, das ich für einen Nullvektor eine Basis finden muß. Was hat der denn dann für eine Basis. Ebenfalls der Nullvektor?

09.11.2010, 23:43

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix

Zitat:

Original von Taladan
Die Nullmenge ist einfach nichts. Ein leeres Glas, wo nichts drin ist (auser der Luft, die ich auch noch abziehe).

Würde dieses Wort vermeinden. Siehe Link. Was du meinst ist die leere Menge.

Zitat:

Wenn der Nullvektor innerhalb des Schnittmenge von disjunkten (ich hoffe das ist das richtige Wort) Mengen von Matrizen liegt. so folgt, das ich für einen Nullvektor eine Basis finden muß. Was hat der denn dann für eine Basis. Ebenfalls der Nullvektor?

Wir haben schon mehr als Mengen von Matrizen. Es ist Untervektorräume.Der Schnitt ist also nicht leer, die UVRs als Mengen nicht disjunkt.

Liegt nur der Nullvektor drin, so nennt man diesen UVR den Nullvektorraum. Er wird vom Nullvektor erzeugt, besitzt aber keine Dimension.

13.11.2010, 12:03

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix
Ich muß noch mal nachhaken. Gestern habe ich mich mit meinen Kommulitonen getroffen. Die meinten, das $\begin{eqnarray*} V\cap W \end{eqnarray*}$ von den Erzeugendensystemen

$\begin{eqnarray*} V=<\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}>, W= <\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$ als Unterraum von $\begin{eqnarray*} M_{22}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ nicht die leere Menge (wie oben festgelegt) sei, sondern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sei. Da dieser Vektor bei V+W raus fliegt.

Ist das richtig? Wenn ja, warum ist das so? Ich finde dazu leider nicht die richtige Textstelle im Skript, das ich das nach vollziehen kann.

13.11.2010, 12:23

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix
Ich wiederhole erneut! Der Schnitt von UVRs ist immer mind. der Nullvektor. Das ist nicht die leere Menge. Da habe ich mich wohl zu sehr darauf konzentriert, dir dies klar machen zu wollen. Entschuldigung. "Eine" weitere Matrix liegt ja offensichtlich noch im Schnitt Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sie werden sich auf die Dimensionsformel beziehen.

$\begin{eqnarray*} \dim\left(V_1+V_2\right)=\dim V_1 + \dim V_2 - \dim\left(V_1\cap V_2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=<\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}>, W= <\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

13.11.2010, 17:10

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix
Auch wenn ich mich bei den Vektoren vertan habe, hilft mir deine "Dimensionsformel" weiter. Würde sie so im Script stehen, hätte ich es sofort verstanden. Warum drückt sich die Professorin blos immer so kompliziert aus. Danke für die Hilfe.

13.11.2010, 20:14

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen und Matrix
Die Haue galten doch mir, weil ich die Schnitt-Matrix auch übersehen habe. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Basen und Matrix

Verwandte Themen