vollständige Induktion, Aufgabe in etwa: k(k+1)=...

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mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion, Aufgabe in etwa: k(k+1)=...
Hallo alle zusammen,

mir fehlt nur ein entscheidener Schritt:

Es gilt:

für alle natürlichen Zahlen größer oder gleich 1.

Induktionsanfang: ... (ist richtig)

Induktionsschluss:



<->

Das Produkt des ersten Summanden ist laut Induktionsvoraussetzung



Damit bleibt noch folgendes stehen:



Und hier schiele ich irgendwie auf:

und im speziellen:

, und dann sehe ich für (k+1): (k+1)(k+2) und das erinnert mich doch an: (n+1)(n+2).


Aber das doch nicht sein, denn dann müsste ich ja das Summenzeichen noch ins Spiel bringen....was kann ich mit dem Term (n+1)(n+2) noch anfangen, damit ich den Induktionsschluss zu einem Ende bringen kann?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: vollständige Induktion, Aufgabe in etwa: k(k+1)=...
Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Hallo alle zusammen,

mir fehlt nur ein entscheidener Schritt:

Es gilt:

für alle natürlichen Zahlen größer oder gleich 1.


Induktionsanfang: ... (ist richtig)

Induktionsschluss:



<->


hast du hier einfach n+1 auf der rechten seite deiner zu beweisenden gleichung eingesetzt?
... das kannst du doch nicht machen... unglücklich

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Das Produkt des ersten Summanden ist laut Induktionsvoraussetzung



Damit bleibt noch folgendes stehen:



und hier benutzt du deine vorraussetzung:

.
nun nennergleich machen und das distributivgesetz anwenden, dann sollte was brauchbares herauskommen.

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Und hier schiele ich irgendwie auf:

und im speziellen:

, und dann sehe ich für (k+1): (k+1)(k+2) und das erinnert mich doch an: (n+1)(n+2).


ich verstehe nicht, was du damit sagen willst....
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh, aber ist das denn nicht der Induktionsschritt? Ich will doch zeigen, dass A(n)->A(n+1) folgt.

Dazu habe ich dann einfach zu jedem n eine 1 addiert.


Wenn das jetzt nicht stimmt, dann stimmt ja auch der Rest nicht, den du mir empfohlen hattest...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs auch gesehen, hatte was falsches in die latex-tabs kopiert, habs aber editiert:

Zitat:
Original von lgrizu


[quote]Original von mathematikgrundkurs
Das Produkt des ersten Summanden ist laut Induktionsvoraussetzung



Damit bleibt noch folgendes stehen:



und hier benutzt du deine vorraussetzung:

.
nun nennergleich machen und das distributivgesetz anwenden, dann sollte was brauchbares herauskommen.

edit: und alle n einfach durch n+1 ersetzen funktioniert nicht...

ein beispiel:

zu zeigen ist, dass für alle n

induktionsanfang:

2>1 ist sicherlich richtig.

dann ist und fertig.

tatsächlich kann man aber mal n=2 einsetzen und erhält:
, also eine falsche aussage.

es ist richtig, du schließt von A(n) auf A(n+1), aber dadurch, dass du zeigst, dass, wenn du links ein n+1 einsetzt, rechts auch ein n+1 herauskommt....
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh, also ist der Ansatz so jetzt tragbar?

Dann würde ich nämlich jetzt deinen Rat umsetzen und nennergleich machen...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

mach doch einfach mal, wirst sehen, dass das richtige herauskommt Augenzwinkern
 
 
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh, aber das kann ich nicht wirklich machen, denn genau diesen Ausdruck wollte ich ja eben zusammenfassen...bzw. ich habe ja extra die Induktionsvorraussetzung eingesetzt...jetzt würde ich ja meinen Schritt wieder zurückgehen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Hmh, aber das kann ich nicht wirklich machen, denn genau diesen Ausdruck wollte ich ja eben zusammenfassen...bzw. ich habe ja extra die Induktionsvorraussetzung eingesetzt...jetzt würde ich ja meinen Schritt wieder zurückgehen


welchen schritt zurückgehen? verwirrt

du hast gar keinen schritt gemacht, du hast einfach alle n durch n+1 ersetzt auf der rechten seite und das kann man nicht tun:

Zitat:
Original von lgrizu
ein beispiel:

zu zeigen ist, dass für alle n

induktionsanfang:

2>1 ist sicherlich richtig.

dann ist und fertig.

tatsächlich kann man aber mal n=2 einsetzen und erhält:
, also eine falsche aussage.

mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh, ich mache es jetzt einfach erstmal...sorry, ich kann im Moment nicht editieren, deshalb muss ich immer antworten...
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich habe doch folgendes gemacht:



<->

Und du machst das gegensätzliche:




So, aber ich machs jetzt mal...
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »



Klammern vergessen gehabt^^
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst das auch in der rückrichtung zeigen, das bleibt sich gleich, aber in deinem ersten post hast du geschrieben:

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs


Induktionsschluss:





und genau das sollst du zeigen.....

wenn du das richtige meinst dann schreib es doch mal sauber und verständlich auf....
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
(...) in deinem ersten post hast du geschrieben:

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs


Induktionsschluss:





und genau das sollst du zeigen.....


Genau, aber das ist für mich nicht zu zeigen, sondern von dort löse ich doch auf und versuche doch die Formel für A(n) in dem ganzen Term wiederzufinden und dann zu ersetzen, oder?

Für mich bleibt es doch dabei, dass nach dem Ersetzen noch:



stehen bleibt.

Und da dachte ich jetzt, dass ich den Ausdruck noch irgendwie so umwandeln muss, dass ich ja....auf was eigentlich genau komme? Das ist ja meine Frage...
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Und da dachte ich dann an mein Summenzeichen und den Ausdruck dahinter:

Denn ich sehe ja auch: und das ist ja einfach wie eingefügt: ... aber ich weiß es absolut nicht smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Zitat:
Original von lgrizu
(...) in deinem ersten post hast du geschrieben:

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs


Induktionsschluss:





und genau das sollst du zeigen.....


Genau, aber das ist für mich nicht zu zeigen, sondern von dort löse ich doch auf und versuche doch die Formel für A(n) in dem ganzen Term wiederzufinden und dann zu ersetzen, oder?



du benutzt etwas, obwohl du beweisen sollst, dass genau das stimmt? verwirrt

...und das ist die aufgabe für dich, das zu zeigen...
....was ist das denn für eine aussage: "für mich ist das nicht zu zeigen..." unglücklich


wenn du die andere richtung einschlagen willst beginnt der schluß auch nicht damit, sondern mit:

mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso habe ich es auch gemeint, nur eben der letzte Schritt:

hatte mir gefehlt. Ich dachte, dass ich auch an die s dran müsste, aber jetzt ist mir klar geworden, dass ich einfach nicht bis n, sondern bis (n+1) aufsummiere.

Trotzdem wundere ich mich, wie du von auf kommst.

Denn genau das meinte ich mit meinen Überlegungen zu (k+1)(k+2) smile Ich habe dann nur nicht zu Ende gedacht, dass ich ja im Summenzeichen, dann auch n zu n+1 ändere und somit auch wieder (k+1)(k+2) zu k(k+1) wird smile
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Und ja ich habe mich da wirklich missverständlich ausgdrückt. Ich wollte nur sagen, dass so wie ich dich verstanden hätte, meine Rechnung rückgängig gemacht hätte...aber so wie du es in der letzten Antwort meintest...wollte ich es auch machen smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Genauso habe ich es auch gemeint, nur eben der letzte Schritt:


dann sag es das nächste mal auch so....

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
hatte mir gefehlt. Ich dachte, dass ich auch an die s dran müsste, aber jetzt ist mir klar geworden, dass ich einfach nicht bis n, sondern bis (n+1) aufsummiere.

Trotzdem wundere ich mich, wie du von auf kommst.


das ist einfach, überlege dir, wie in der summe der n-te summan aussieht. wie sieht der n-1 te summand aus?

dann kommst du darauf, dass (n+1)(n+2) der n+1 te summand ist, den kannst du dann in die summe ziehen...

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
Denn genau das meinte ich mit meinen Überlegungen zu (k+1)(k+2) smile Ich habe dann nur nicht zu Ende gedacht, dass ich ja im Summenzeichen, dann auch n zu n+1 ändere und somit auch wieder (k+1)(k+2) zu k(k+1) wird smile


siehe oben

ist jetzt alles klar?

hast du noch fragen?

und, das ist wichtig, beginne niemals den induktionsschluss mit der aussage, die du beweisen sollst......
mathematikgrundkurs Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe es auch in meinem letzten Thread schon erwähnt...ich flige gerade ziemlich böse auf die Schnauze, denn mit Summenzeichen (und Fakultäten, auch wenn es um die hier nicht geht) stehe ich auf Kiregsfuß smile

Aber die Aufgabe habe ich jetzt verstanden, ich hätte auch als Thema besser "Umwandlung Summenzeichen bei der voll. Induktion" verwenden sollen Augenzwinkern

Aber super vielen mega Dank, dass du soviel Geduld mit mir hattest...ich werde mich in Zukunft wohl besser mal präziser ausdrucken...so hätten wir dieses Thema hier schon nach zwei Beiträgen gelöst...Ich bekenne mich schuldig Augenzwinkern

Danke und gute Nacht noch!!!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathematikgrundkurs
.... so hätten wir dieses Thema hier schon nach zwei Beiträgen gelöst..


das hätte möglich sein können.

also, dir auch ne gute nacht Wink
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