vollständige induktion

08.11.2010, 23:00

jupp87

vollständige induktion

Meine Frage:
Hallo Zusammen
Ich studiere im ersten Semester und habe in Höhere Mathematik diese aufgabe als Hausübung bekommen.
1/\sqrt{1} +1/\sqrt{2} + ...1/\sqrt{n} >\sqrt{n} , n>1
Ich scheitere jedoch am Induktionsschritt

Meine Ideen:
Habe zuerst die Wurzel umgeschrieben zu (hoch 1/2) hat mir aber nicht weiter geholfen und mit quadrieren steht dann da:
Wurzel(n)+(1/wurzel(n+1))> Wurzel(n+1)

08.11.2010, 23:11

Iorek

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RE: vollständige induktion
Nach ein klein wenig Verwirrung im anderen Thread... Augenzwinkern

Es geht also um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k} >\sqrt n~\forall n\in\mathbb N,~n>1 \end{eqnarray*}$ ?

Wie sieht denn dein Induktionsschritt aus, und wie kommst du mit quadrieren auf "Wurzel(n)+(1/wurzel(n+1))> Wurzel(n+1)"? verwirrt

08.11.2010, 23:21

jupp87

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RE: vollständige induktion
Sorry war zu voreilig mit dem abschicken meiner Frage.
Die Induktionsannahme heißt:

\sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n}
und für n+1

\sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n}+1/\sqrt{n}\geq \sqrt{n+1}

Hoffe habe keine Fehler gemacht.
Meine Linke Seite nach dem quadrieren heißt:
n+\frac{1}{n+1}
und meine rechte seite:
n+1
Wie komme ich jetzt von IA mittels IS zum Beweis?

08.11.2010, 23:27

Iorek

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von jupp87
Sorry war zu voreilig mit dem abschicken meiner Frage.
Die Induktionsannahme heißt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
und für n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n}+1/\sqrt{n}\geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Hoffe habe keine Fehler gemacht.
Meine Linke Seite nach dem quadrieren heißt:
$\begin{eqnarray*} n+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
und meine rechte seite:
n+1
Wie komme ich jetzt von IA mittels IS zum Beweis?

Du musst die Formeln noch in Latex-Tags fassen.

code:
1:	[latex]Formel[/latex]

Erstmal zur Behauptung, summierst du jetzt über k=1 bis n oder über k=2 bis n auf? Und natürlich muss da $\begin{eqnarray*} \frac 1{\sqrt k} \end{eqnarray*}$ stehen.

Zum Induktionsschritt: ich kann nicht nachvollziehen, was du da eingesetzt hast, kannst du das bitte entweder als Bruch oder mit richtiger Klammersetzung aufschreiben? Und wie du nach dem quadrieren auf $\begin{eqnarray*} n+\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$ kommen willst ist mir nach wie vor schleierhaft.

08.11.2010, 23:32

jupp87

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RE: vollständige induktion
Das ist das was zu beweisen ist.
\sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\geq \sqrt{n+1}

08.11.2010, 23:36

Iorek

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von Iorek
Du musst die Formeln noch in Latex-Tags fassen.

code:
1:	[latex]Formel[/latex]

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Und das ist definitiv nicht das, was zu zeigen ist, diese Ungleichung ist nämlich klar.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n}+\sqrt{n+1}=\frac{(n-2)}{\sqrt n} +\sqrt {n+1} \end{eqnarray*}$ , was mit der eigentlichen Aufgabenstellung wenig bis gar nichts gemein hat.

Du hast übrigens noch immer nicht gesagt, ob jetzt die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac 1{\sqrt k} \end{eqnarray*}$ gebildet werden soll (wie du es jetzt die letzten zwei Male geschrieben hast), oder ob es nicht doch eher $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k} \end{eqnarray*}$ sein soll, wie es im Anfangspost steht.

08.11.2010, 23:48

jupp87

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RE: vollständige induktion
Nochmal von vorne um das ganze zu entwirren
Achso wie bekomme ich diese latex Tags hin?
Die Aufgabenstellung lautet:

Beweisen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion.

[1/\sqrt{1} + 1/\sqrt{2} + ...+1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n} ]

Dies A:

[\sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n} ]

ist schon Bewiesen mit n=2(da n>1)

Dies ist die Aufgabe mit n+1 geschrieben und dem neuen Summand der auf der linken Seite dazukommt.

B:

[\sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\geq \sqrt{n+1} ]

Induktion heißt doch,dass ich von A auf B kommen muss durch diverse "Erweiterungen und Umformungen" oder nicht?
Ich dachte ich habe das Pinzip dahinte verstanden.
Folglich steht auf der linken Seite: [\sqrt{n} +1/\sqrt{n+1} ]
und auf der rechten Seite: [\sqrt{n+1} ]
oder täusche ich mich?

08.11.2010, 23:55

jupp87

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RE: vollständige induktion
Die Aufgabenstellung lautet:

Beweisen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion.

$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{1} + 1/\sqrt{2} + ...+1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Dies A:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

ist schon Bewiesen mit n=2(da n>1)

Dies ist die Aufgabe mit n+1 geschrieben und dem neuen Summand der auf der linken Seite dazukommt.

B:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n}+1/\sqrt{n+1}\geq \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Induktion heißt doch,dass ich von A auf B kommen muss durch diverse "Erweiterungen und Umformungen" oder nicht?
Ich dachte ich habe das Pinzip dahinter verstanden.
Folglich steht auf der linken Seite: $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} +1/\sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$ weil die summe schon bewiesen ist
und auf der rechten Seite: $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} \end{eqnarray*}$

Das problem ist,dass in Latex nur größer gleich zeichen gibt und es heißt aber nur größer.Von daher ist doch die 1 nicht
mit inbegriffen oder?

09.11.2010, 00:03

Iorek

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Die Latex-Tags musst du selbst setzen oder alternativ die Formel markieren und anschließend auf den f(x)-Button oberhalb des Textfensters klicken.

$\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{1} + 1/\sqrt{2} + ...+1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ passt aber nicht zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n 1/\sqrt{n} \geq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ , denn: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n\frac 1{\sqrt n}=\frac 1{\sqrt n}+\frac 1{\sqrt n} + \underbrace{\dots}_{n-2~mal}\frac 1{\sqrt n}=\frac {n-2}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ , du hast keine Verbindung zum Summenindex, das ist der erste Fehler. Außerdem ist (mit richtiger Schreibweise) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^n \frac 1{\sqrt k} = \frac 1{\sqrt 2} + \frac 1{\sqrt 3} + \dots + \frac 1{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ , dir fehlt also 1 Summand.

Jetzt wenden wir uns mal der Behauptung zu: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k} > \sqrt n ~\forall n\in\mathbb N\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ .

Beweis per vollständiger Induktion über n:

Induktionsanfang ist für n=2: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2 \frac 1{\sqrt k}=1+\frac 1{\sqrt 2} > \sqrt 2~\checkmark \end{eqnarray*}$ .

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$

Bis hier ist noch absolut nichts passiert, es ist nur sauber aufgeschrieben, das ist aber auch ein enorm wichtiger Teil eines korrekten Beweises.

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n\rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac 1{\sqrt k} = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1{\sqrt k} + \frac 1{\sqrt {n+1}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du in der Tat die Induktionsvoraussetzung anwenden und nach unten abschätzen.

Das kleiner-Zeichen kannst du direkt eingeben, so wie beim normalen Tippen auch: >.

09.11.2010, 09:07

jupp87

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was heißt nach unten abschätzen

09.11.2010, 09:20

Iorek

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Du willst ja zeigen, dass der Summenterm größer als $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ ist, d.h. du schätzt nach unten ab gegen einen Wert der kleiner ist.

Abschätzung

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