Muss eine Gruppe kommutativ sein? |
| 08.11.2010, 23:00 | soussou1009f | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Muss eine Gruppe kommutativ sein? Eine Gruppe ist eine Menge G versehen mit einer zweistelligen Verknüpfung , für die folgende Axiome erfüllt sind: Assoziativität: Für alle Gruppenelemente a, b und c gilt: (a * b) * c = a * (b * c). Es gibt ein neutrales Element , mit dem für alle Gruppenelemente gilt: a * e = e * a = a. Zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element mit a * a ? 1 = a ? 1 * a = e. Meine Ideen: Aber muss eine Gruppe unbedingt kommutativ sein? oder gibt es kommuative Gruppen und auch nichtkommutative Gruppen? |
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| 08.11.2010, 23:02 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Gruppe muss nicht kommutativ sein, die Kommutativität ist eine (schöne) Zusatzeigenschaft, die eine Gruppe haben kann. Beispiel für eine nicht-kommutative Gruppen: Die Menge der invertierbaren Matrizen mit der Matrixmultiplikation |
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| 08.11.2010, 23:02 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Muss eine Gruppe kommutativ sein? Im Allgemeinen sind Gruppen nicht kommutativ. Gruppen die diese Eigenschaft besitzen nennt man kommutative oder auch abelsche Gruppen - nach Niels Hendrik Abel. |
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| 08.11.2010, 23:02 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Muss eine Gruppe kommutativ sein? gruppen müssen nicht zwangsläufig kommutativ sein, betrachte zum beispiel die gruppe der invertierbaren matrizen über einem körper K mit der matrixmultiplikation. wie wir wissen ist die matrixmultiplikation im allgemeinen nicht kommutativ, also gruppe, aber halt nicht abelsch. edit: drei antworten in der gleichen minute, das zweite mal, dass ich so was sehe 
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| 09.11.2010, 00:22 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Teilmenge der invertierbaren Matrizen bildet darin eine Gruppe, selber nicht. |
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| 09.11.2010, 00:26 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Multiplikation...stimmt. War in Gedanken wohl bei der Addition. |
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