Mit vollständiger Induktion etwas widerlegen.

08.11.2010, 23:10

mrburns

Mit vollständiger Induktion etwas widerlegen.

Hallo, wenn ich zeigen will dass für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{1}{8} (2n+1)^2 \end{eqnarray*}$ es kein n aus natürlichen Zahlen gibt dass die Gleichung erfüllt,
reicht es aus wenn ich für n=0 und n=1 sage ist nicht erfüllt und mit der Induktion zeige dass beide Gleichungen für n+1 äquivalent sind, so heißt es doch dass ich eigendlich bewiesen habe dass es für alle n nicht gilt.

Ich hab für n+1 nämlich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \frac{1}{8} (2n+3)^2 \end{eqnarray*}$ rausbekommen.

08.11.2010, 23:19

René Gruber

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Zu gut deutsch: Du willst nachweisen, dass die Summenformel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}+C \end{eqnarray*}$

die im Fall $\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ allseits als richtig bekannt ist, im Fall $\begin{eqnarray*} C=\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ stets falsch ist? Ja, warum nicht, wenn es auch einer gewissen komischen Note nicht entbehrt, die Falschheit einer Formel (also ein sehr dünner Informationsgehalt) derart aufwändig nachweisen zu wollen. Augenzwinkern

Zumal die Falschheit schon allein deswegen klar ist, weil rechts klar erkennbar keine ganze Zahl steht.

08.11.2010, 23:27

mrburns

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Ähm also ja oder nein, und wieso kommst du jetzt mit einer anderen Formel. Ich muss zeigen ob es ein n gibt das die gleichung erfüllt, und zwar meine nicht deine.
Da für n=0 und n=1 diese nicht erfüllt ist, lautet meine Behauptung dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \neq \frac{1}{8} (2n+1)^2 \end{eqnarray*}$
wenn ich dann die induktion durchgeführt habe, dann habe ich doch gezeigt dass für n+1 auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \neq \frac{1}{8} (2n+3)^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich weiß dass deine Formel die eigentliche Summenformel ist. Ich könnte diese beweisen und sagen dass es keine andere geben kann. Aber im Prinzip ist meine möglichkeit doch math auch legal, oder nicht???

08.11.2010, 23:31

René Gruber

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Zitat:

Original von mrburns
und wieso kommst du jetzt mit einer anderen Formel. Ich muss zeigen ob es ein n gibt das die gleichung erfüllt, und zwar meine nicht deine.

Du kannst es wahrhaben oder nicht - fakt ist, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} (2n+1)^2 = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt, die Formeln also identisch sind - einfach mal ausmultiplizieren. smile

Und im übrigen habe ich die Frage der Machbarkeit schon beantwortet:

Zitat:

Original von René Gruber
Ja, warum nicht

08.11.2010, 23:41

mrburns

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stimmt ja wirklich Big Laugh

Aber dadurch dass da 1/8 zuviel ist stimmt es natürlich trotzdem nicht.
muss ich also von meinem Lösungsweg abweichen oder es dabei belassen.

NA wenn sie schon beantwortet ist gibts keine Fragen mehr.
danke

09.11.2010, 00:00

geht nicht

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das geht nicht!
falls ich dich richtig verstanden habe (welches ich bezweifle), willst du zeigen, dass die formel für KEIN n stimmt. du kannst nicht einfach eine induktion durchführen, um das zu zeigen!
einfaches gegenbeispiel:
[summe k von k=1 bis n] = 6
ann: gilt für kein n
für n=1: 1, also stimmt
für n+1 gilt: n+1+6=6, gilt für kein n!

hm... was ist mit n=3?

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