Schmiegkreis [Geometrie]

09.11.2010, 01:27	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Schmiegkreis [Geometrie] Guten Abend miteinander! [attach]16568[/attach] Hierzu habe ich folgende Skizze gemacht: [attach]16569[/attach] Meine Frage ist nun: Wie zeigt man, dass S eindeutig ist? ...also was muss hierzu gelten? Liebe Grüsse und eine gute Nacht, Thomas
09.11.2010, 10:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann stets eine Parametrisierung der Kurve bezüglich der Bogenlänge s finden (nicht bezüglich eines beliebigen Parameters t). Die Krümmung k der Kurve ist definiert als der Betrag der 2.Ableitung der Kurve $\begin{eqnarray} \vec c(s) \end{eqnarray}$ nach der Bodenlänge s $\begin{eqnarray} k=\left\|\frac{d^2\vec c}{ds^2} \right \| \end{eqnarray}$ Der Radius R des Schmiegekreises ist gerade der Kehrwert der Krümmung (an dieser Stelle): $\begin{eqnarray} R=\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Anschaulich ist klar, dass der Mittelpunkt des Schmiegekreises auf einer Geraden liegt, die senkrecht auf der Tangentenrichtung $\begin{eqnarray} \vec t=d\vec c/ds \end{eqnarray}$ steht. Wenn also die Tangente am Berührungspunkt die Richtung $\begin{eqnarray} \vec t=(t_x\|t_y) \end{eqnarray}$ hat, dann lautet die senkrechte Richtung $\begin{eqnarray} \vec n=(t_y\|-t_x) \end{eqnarray}$ . Bestimme daraus diejenige Gerade, die die Kurve am Berührungspunkt senkrecht schneidet. Der Mittelpunkt des Schmiegekreises liegt auf dieser Geraden im Abstand R vom Berührungspunkt. Daraus kann man den Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M=(x_M\|y_M) \end{eqnarray}$ bestimmen. Nun haben wir den Radius R und den Mittelpunkt des Schiegekreises. Die zugehörige Kreiskleichung lautet bekanntlich $\begin{eqnarray} R^2=(x-x_M)^2+(y-y_M)^2 \end{eqnarray}$
09.11.2010, 11:33	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schmiegkreis [Geometrie] Es sei noch angemerkt, dass die Skizze nicht korrekt ist. Der Schmiegekreis an der angegebenen Stelle befindet sich auf der anderen Seite der Kurve.
09.11.2010, 11:37	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Ich kenne eine andere, vorzeichenbehaftete Definition der Krümmung: $\begin{eqnarray} k(t)=\left\langle Jc'(t),c''(t)\right\rangle \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Betragsdefinition wird erst ab Dimension 3 notwendig, wenn man der Krümmung kein Vorzeichen mehr geben kann.
09.11.2010, 14:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Cordovan Das stimmt. Mit deiner Definition wird zwischen "Rechts-" und "Linkskurven" unterschieden. Für ebene Kurven, die also innerhalb der (1,2)-Ebene liegen, findet man gelegentlich auch folgende Definition, welche ebenfalls das Vorzeichen beachtet $\begin{eqnarray} k=det(c''\|c'\|n_3)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec n=(0\|0\|1) \end{eqnarray}$ Da c'' senkrecht auf den Einheitsvektoren c' und $\begin{eqnarray} \vec n_3 \end{eqnarray}$ steht, die ihrerseits senkrecht stehen, ist diese Determinante (bis auf das Vorzeichen) gerade der Betrag von c'' , also die bekannte Definition der Krümmung. Am anschaulichsten ist folgende Definition der Krümmung einer ebenen Kurve, die ich einem älteren Buch entnommen habe: Wenn z.B. ein Bus auf einer Ebene eine gekrümmte Kuve fährt, ändert die "Achse des Busses" ständig die Richtung. Die Krümmung der Kurve ist, dann $\begin{eqnarray} k=\frac{\Delta \text{Winkeländerung}}{\Delta \text{Weglänge}} \end{eqnarray}$
09.11.2010, 15:49	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Leute! Buah! Ich bin überwältigt! Habt vielen vielen vielen tausend Dank! Eure Beiträge haben mir sehr geholfen, dieses Problem zu verstehen! Eine Frage, die wahrscheinlich etwas dumm ist, habe ich aber trotzdem noch: Huggy hat angemerkt, dass die Skizze falsch sei, also konkret dass der Schmiegkreis auf der falschen Seite sei. Wieso? Und woran erkennt man das? (also es muss ja aus der Aufgabenstellung ersichtlich sein..eine Skizze macht man ja normalerweise bevor man die Aufgabe gelöst hat..) Aber nochmals! Besten Dank für die Hilfe!
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09.11.2010, 23:37	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Diese letzte Definition gefällt mir ausgesprochen gut, die werde ich mir merken @Thomas00 Geometrisch erhält man den Krümmungskreis so: wähle drei nicht kolineare Punkte t1, t2, t3 auf der Kurve c. Durch diese drei Punkte ist eindeutig ein Kreis K definiert. Jetzt lasse die Punkte t1 und t3 auf t2 wandern. Dadurch erhältst du eine Folge von Kreisen, die alle durch c(t2) gehen. Im Grenzwert kommt genau der Krümmungskreis heraus. Er geht auch durch c(t2) und berührt die Kurve da. Im Spezialfall eines Punktes mit Krümmung 0 kommt im Grenzwert dann eine Gerade heraus. Cordovan

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