Polygonales Gebiet [Topologie] |
| 09.11.2010, 01:29 | Thomas00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Polygonales Gebiet [Topologie] Angenommen, wir haben ein polygonales Gebiet mit 2n Kanten, die paarweise identifiziert werden und gemäss folgender Symbole gegeben sind: Werden alle Ecken miteinander identifiziert? Welche Standardfläche repräsentiert es? Meine Frage hierzu: Man muss hier eigentlich nichts gross berechnen, oder? Also meine Antworten: Ja, es werden alle Ecken miteinander identifiziert. Es wird die Fläche eines 2n-Ecks repräsentiert. Das stimmt so, oder? |
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| 09.11.2010, 02:21 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hi,
Die Frage hat meiner Meinung nach mit dem Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten zu tun. Du musst dich also fragen, wie der Quotientenraum aussieht und nicht das Polygon selbst. (Sonst wäre es auch sehr einfach).
Bei dieser Frage ist die Antwort "ja" ein bisschen dürftig... |
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| 09.11.2010, 15:40 | Thomas00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Achso - hab ich's mir doch gedacht, dass ich da etwas falsch interpretiert habe :P Also, das heisst, man muss ersteinmal die Euler-Charakteristik ermitteln. Das wäre: wobei E=Ecken, K=Kanten, F=Dreiecke. Wie aber ist der Zusammenhang zwischen Kanten (oder Ecken) und Dreiecke? Wenn man die Euler-Charakteristik hat, so kann man dann ermitteln, ob die Fläche orientierbar ist, oder nicht. Und je nach dem kann man die Fläche dann orientieren. Hierzu eine Frage: Wie muss die Euler-Charakteristik aussehen, um schliessen zu können, dass eine Fläche orientierbar ist (oder eben nicht?). ..dass alle Ecken miteinander identifiziert werden, kann man auch so sehen: Es gibt 2n Kanten, eine Kante hat aber einen Anfangs- und Endpunkt (also 2 Ecken). Verbindet man aber alle Kanten, so teilt die letzte Kante ihren Endpunkt mit dem Anfangspunkt der ersten Kante. Ergo gibt es auch 2n Ecken, d.h. es werden alle Ecken miteinander identifiziert. Kann man so argumentieren? |
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| 09.11.2010, 18:06 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Uff, diese Version des Satzes (mit Eulercharakteristik) kenne ich gar nicht. Auch weiss ich nicht, ob oder wie man Orientierbarkeit an der Euler Charakteristik erkennen kann. Ich kenne z.B. folgendes Kriterium für glatte Mannigfaltigkeiten:
Viel mehr habe ich zu diesem Thema dann aber wohl nicht zu bieten. In Munkres "Topology" wird der Klassifikationssatz zwar auch diskutiert, jedoch ohne Euler Charakteristik. (Ich beziehe mein Topologie - Wissen grösstenteils daraus...) |
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| 10.11.2010, 00:12 | Thomas00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okey. Aber versteh ich das richtig, dass aus dem von dir angegebenen Satz direkt folgt, dass meine Fläche orientierbar ist? Wenn ja, dann kann man sagen, dass die Fläche die 2-Sphäre oder eine zusammenhängende Summe von Tori repräsentiert, oder? ..und da die Fläche orientierbar ist, würde auch folgen, dass alle Ecken miteinander identifiziert werden. |
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| 10.11.2010, 00:45 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wieso? Ist dir bewusst, dass es um die Fundamentalgruppe des Quotientenraumes geht? Wenn ja, könntest du mir einen Beweis dafür liefern, dass es keine Untergruppe vom Index 2 gibt?
Wenn das oben stimmt, dann ja.
Und wie folgt das? Meiner Meinung nach ist übrigens der Quotientenraum zusammenhängende Summe von projektiven Räumen.
Auch hier kann ich dir leider nicht folgen. Betrachte zum Beispiel . Bei diesem Schema werden nicht alle Ecken miteinander identifiziert. Inwiefern kann man deine Argumentation nicht auf dieses Beispiel anwenden? 
Mir scheint, du verwechselst den Quotientenraum (um den es ja eigentlich geht) mit dem polygonalen "Konstruktionsschema". |
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| 10.11.2010, 17:49 | Thomas00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dass es um die Fundamentalgruppe des Quotientenraumes geht, ist mir eigentlich bewusst, ja. Aber wie gesagt: Der Quotientenraum ist doch eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit, aber nicht eine orientierbare geschlossene Fläche. (das hab ich so schon gehört) ..ist das nicht korrekt? Falls ja (naja..für den Beweis würde mir dann irgendwie der Ansatz fehlen..), so kann man wie schon erwähnt sagen, dass die Fläche die 2-Sphäre oder eine zusammenhängende Summe von Tori repräsentiert. Und dass alle Pkt. miteinander identifiziert werden stimmt nicht..weil eben: Es handelt sich nicht um eine geschlossene Fläche - plus dein Gegenbeispiel, das meine Argumentation widerlegt. |
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| 10.11.2010, 22:49 | Thomas00 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sorry - ich nehme meine Behauptungen zurück! Die Fundamentalgruppe des Quotientenraumes ist eben genau nicht orientierbar. Okey..hiermit wäre mir eigentlich alles klar... Danke, dass du so skeptisch gefragt hast! 
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