Y-Achsensymmetrie in einem Intervall

09.11.2010, 11:13

Anna20

Y-Achsensymmetrie in einem Intervall

Hallo,

wie man zeigt, dass eine Funktion y-Achsensymmetrisch ist, ist mir klar.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich zeigen, dass eine Funktion in einem Intervall Symmetrisch ist.

Betrachtet wird dabei die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ - periodische Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}\cdot x^2-\frac{\pi}{2}x, x\in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ .

Kann mir hier jemand einen nützlichen Tipp geben?

Danke

09.11.2010, 11:30

baphomet

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Also du setzt auf der linken Seite ein positives x ein, auf der linken ein negatives.
Es entsteht folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^2-\frac{\pi}{2}x=\frac{1}{4}(-x)^2-\frac{\pi}{2}(-x) \end{eqnarray*}$

Jetzt die Seiten verlgeichen, wobei du schon anhand der Funktionsgleichung eine Vermutung äußern kannnst bezüglich der Symmetrie.

09.11.2010, 11:41

Anna20

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Inwiefern vergleichen?

Ich weiß, dass beide Funktionen bei $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ denselben Funktionswert haben und es auch gilt: $\begin{eqnarray*} f(0)=f(2\pi) \end{eqnarray*}$ aber mehr kann ich dazu irgendwie nicht sagen.

09.11.2010, 11:47

baphomet

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Also, deine Funktion ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse!!!
Rechne meine Gleichung mal aus und du wirst festellen das

$\begin{eqnarray*} f(x)\neq f(-x) \end{eqnarray*}$

Geb mal als x 2 und -2 ein und wette 100 € das nicht der gleiche Funktionswert herauskommt.

09.11.2010, 12:04

Anna20

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Mist, ich habe auch was völlig falsches behauptet.

Es geht mir darum zu zeigen, dass f gerade ist in dem Intervall und das wäre eine Achsensymmetrie.

09.11.2010, 12:26

Anna20

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Könnte ich das so begründen?

Es gilt: Das Produkt 2er ungerader Funktionen ist gerade.
Ich nehme als $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{4}x-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ und als $\begin{eqnarray*} h(x)=x \end{eqnarray*}$ .

Beide Funktionen sind ungerade und somit ist das Produkt, was ja $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ergibt gerade?

09.11.2010, 12:29

baphomet

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Du sollst Achsensymmetrie zur yAchse nachweisen korrekt, das geht so hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^2-\frac{\pi}{2}x=\frac{1}{4}(-x)^2-\frac{\pi}{2}(-x) \frac{1}{4}x^2-\frac{\pi}{2}x=\frac{1}{4}x^2+\frac{\pi}{2}x -\frac{\pi}{2}x=+\frac{\pi}{2}x -\frac{\pi}{2}x\neq +\frac{\pi}{2}x \end{eqnarray*}$

Damit ist der Nachweis doch erbracht.

09.11.2010, 12:32

Huggy

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall

Zitat:

Original von Anna20
Mist, ich habe auch was völlig falsches behauptet.

Mal langsam, bevor hier noch mehr Chaos erzeugt wird. Mir scheint, weder dir selbst noch baphomet ist klar, was du eigentlich versuchst zu beweisen. Also musst du dir erst mal selbst darüber klar werden, was deine Behauptung sein soll. Dazu ein paar Hilfestellungen:

(1) Du betrachtest die Funktion

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x^2-\frac{\pi}{2}x \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} x\in[0, 2\pi] \end{eqnarray*}$

Dann ist die Frage nach der Symmetrie bezüglich der y-Achse (x = 0) sinnlos. Sinnvoll ist allein die Frage nach der Symmetrie bezüglich eines Punktes innerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ . Und tatsächlich ist die Funktion innerhalb dieses Intervalls bezüglich des Punktes $\begin{eqnarray*} x = \pi \end{eqnarray*}$ symmetrisch.

(2) Du betrachtest obige Funktion. Außerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} x\in[0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ soll sie definiert sein durch $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x+2n\pi) \end{eqnarray*}$ mit n ganzzahlig. Diese Funktion ist tatsächlich bezüglich der y-Achse symmetrisch.

09.11.2010, 12:49

Anna20

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Ja Huggy du hast es auf den Punkt gebracht.

Ich soll zeigen, dass die Funktion in ihrem Definitionsbereich gerade ist und das habe ich damit begründet, dass das Produkt 2er ungerader Funktionen gerade ist.

Stimmt das denn?

09.11.2010, 13:16

Huggy

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Die Grundidee ist richtig. Ihre Ausführung aber nicht.

Bezüglich welchen Punktes sollen denn die Funktionen ungerade sein? Die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{4}x-\frac{\pi}{2}=\frac{1}{4}(x-2\pi) \end{eqnarray*}$

ist bezüglich $\begin{eqnarray*} x = 2\pi \end{eqnarray*}$ ungerade. Sie ist nicht ungerade bezüglich x = 0 und auch nicht bezüglich $\begin{eqnarray*} x = \pi \end{eqnarray*}$ . Die Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x)=x \end{eqnarray*}$

ist ungerade bezüglich x = 0.

Du kannst nicht Symmetrien bezüglich unterschiedlicher Punkte miteinander kombinieren.

Am einfachsten ist es, für die gegebene Funktion direkt zu zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x+\pi)=f(x-\pi) \end{eqnarray*}$

09.11.2010, 13:32

Anna20

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Dankeschön für den tollen Ansatz. Ist der denn bezüglich aller Punkte aus meinem Definitionsbereich? Diese Frage ist für mich noch ungeklärt.

09.11.2010, 13:47

Huggy

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Dieser Ansatz gilt für alle Punkte aus deinem Definitionsintervall. Und wenn die Funktion über das Intervall $\begin{eqnarray*} [0, 2\pi] \end{eqnarray*}$ hinaus $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch fortgesetzt wird, gilt er für alle x.

09.11.2010, 15:20

Anna20

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Setze ich das ein, bekomme ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(x-\pi)^2-\frac{\pi}{2}(x-\pi)=\frac{1}{4}(x+\pi)^2-\frac{\pi}{2}(x+\pi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}\pi x+\frac{1}{4}\pi^2-\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi^2}{2}=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}\pi x+\pi^2-\frac{\pi}{2}x-\frac{\pi^2}{2} \end{eqnarray*}$

Der linke und der rechte Teil sind doch aber nicht gleich oder wo liegt mein Fehler?

09.11.2010, 16:55

Anna20

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Ich denke du meinst sicherlich:

$\begin{eqnarray*} f(x+\pi)=f(-x+\pi) \end{eqnarray*}$

09.11.2010, 17:16

Huggy

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RE: Y-Achsensymmetrie in einem Intervall
Das hast du gut bemerkt! Freude

Da hatte sich bei mir ein kleiner, aber ärgerlicher Fehler eingeschlichen.

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Y-Achsensymmetrie in einem Intervall

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