Substitutionsregel

14.11.2006, 15:29

Summerdream

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Substitutionsregel

Soooo und zwar wurde heute im Unterricht die Substitutionsregel eingeführt und wir sollen eine kleine Aufgabe dazu machen.

Wir sollen das Integral von 0 bis Pi (2x * sin(x^2)) dx

Sorry hab keine Ahnung, wie man hier ein Integral schreibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist zwar ansich nicht schwer, meine Frage ist nur, warum brauche ich dafür diese Regel?
Warum nicht mit der Partiellen Integration?
Bei Wurzeln, oder potenzierten Funktionen find ich das ja logisch, aber hierbei versteh ich das nich so wirklich...

g(x)= x^2
g'(x) = 2*x

Aber was wäre dann mein f(t) ???

Hoffe jemand von euch kann mir helfen.
Viele Grüße!

14.11.2006, 15:35

Geistermeister

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f(x) klicken und dann \int_{0}^{\pi} eingeben.

So, du hast richtig substituiert und abgeleitet. Dann dividierst du einfach
deine Funktion, die du zu integrieren hast durch g'(x). Danach kannst du
einfach die $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ in ein g(x) umschreiben. Nun wird nach
der Variablen g(x) integriert. Zuletzt setzst du für g(x) wieder das
$\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ ein.

14.11.2006, 15:54

vektorraum

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RE: Substitutionsregel
Hi!

Du wirst die Substitutionsregel noch schätzen und lieben lernen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Klar, hier hätte man es noch ganz anders machen können, aber wahrscheinlich sollte das einfach mal ein Beispiel sein, an den ihr es ganz schnell nachvollziehen und verstehen könnt...
Der Code lautet:

code:
1:	\int_{0}^{\pi}~2x\sin x \dd x

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~2x\sin x \dd x \end{eqnarray*}$

Deine Substituion ist richtig - auch die Ableitung. Dann setzt du das ganze einfach mal wieder oben ein. Tipp wäre aber, dass du eine neue Variable einführst, weil es sonst verwirrend sein könnte, also z.b. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Dann ist:

$\begin{eqnarray*} u=x^2~\Rightarrow~2x~\dd x=\dd u \end{eqnarray*}$

d.h. du erhälst dann einfach

$\begin{eqnarray*} \int ~\sin(u) \dd u \end{eqnarray*}$

Wichtig: Wenn du keine Lust hast, zum Schluß zurück zu substituieren, dann musst du die Grenzen auch substiturieren. Sonst wird das Ergebnis im Allgemeinen falsch sein! Ansonsten lass die Grenzen nach dem Substituieren weg, und schreib sie nach dem rücksubstituieren wieder hin...

14.11.2006, 16:10

Summerdream

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Danke schonmal! =)
So weit hab ich das auch verstanden.
Aber am Schluss bilde ich ja das Integral von f(t) von g(a) bis g(b).
Meine Frage ist, was jetzt f(t) in diesem Fall ist.

Wenn es sich um die Gleichung
$\begin{eqnarray*} (cos(x))^3 * (-sin(x)) \end{eqnarray*}$
handelt, dann ist mein f(t)= t^3. Da versteh ich das auch noch.

Nur was ist es bei dieser Gleichung?
Ist es einfach der Sinus???

14.11.2006, 16:19

Geistermeister

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Ganz einfach:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} t^{3} dt \end{eqnarray*}$
Da integrierst du nach t. Eins bei der Hochzahl dazuzählen und dann
die danach entstandene Zahl als Division dahinterschreiben.
Zuletzt setzst du für t wieder ein: cos(x)

14.11.2006, 16:25

Summerdream

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Ich weiß nich. Entweder reden wir grad aneinander vorbei oder ich verstehs einfach nich ^^

Also ich meine jetzt bei dem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~2x\sin x \dd x \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

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14.11.2006, 16:32

Geistermeister

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Schritt für Schritt Anleitung:
1. Hier musst du die partielle Integration machen.
Die partielle Integration ist nichts anderes als die Umkehrung der
Produktregel zum Ableiten.
$\begin{eqnarray*} \int u'(x)v(x) dx + \int v'(x)u(x) dx = u(x)v(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int u'(x)v(x) dx = u(x)v(x) - \int v'(x)u(x) dx \end{eqnarray*}$
2. Nun setzst du für u'(x) ein:
sin(x) mit deren Stammfunktion u(x) = -cos(x)
und für v(x) dann den anderen Faktor deiner Funktion:
2x mit deren Ableitung v'(x) = 2
3. Setze dies in deine Formel ein. Dann lässt sich das Integral auf der
rechten Seite der Gleichung auch noch auflösen.

14.11.2006, 16:35

derkoch

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irgendwie weißt keiner mehr was hier los ist! ( ich auch nicht!)

um welches inetgral geht es überhaupt!

$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{o}~2x \cdot sin(x)~dx \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~cos^3(x)\cdot (-sin(x))~dx \end{eqnarray*}$

du schwenkst von einer frage zur nächsten und kein mensch weiß worum es geht! also bitte um eine klare aussage!

14.11.2006, 16:39

Summerdream

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GENAU daaaa liegt mein problem! Augenzwinkern

Augenzwinkern

das dachte ich ja auch!! Das ich da partielle Integration anwenden
muss.. die haben wir in der Stunde davor gelernt.

Aber diese Aufgabe soll mit der Substitutionsregel zu lösen sein! verwirrt

verwirrt

14.11.2006, 16:44

derkoch

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wenn es um diese aufgabe geht

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~2x\sin (x^2)\dd x \end{eqnarray*}$

dann schaue dir doch mal vektorraums beitrag von oben mal genauer an! er hat dir doch schon schritt für shritt alles auseinander gepflückt!

edit: copy-pate fehler verbessert!

14.11.2006, 16:46

Summerdream

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Ja das hat mir auch sehr weiter geholfen.
Ich war mir jetzt nur nich sicher, ob mein f(t)
dann praktisch der sinus ist????

14.11.2006, 16:46

derkoch

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@geistermeister!

Zitat:

Original von Geistermeister
Schritt für Schritt Anleitung:
1. Hier musst du die partielle Integration machen.
Die partielle Integration ist nichts anderes als die Umkehrung der
Produktregel zum Ableiten.

Zitat:

Original von Summerdream
Soooo und zwar wurde heute im Unterricht die Substitutionsregel eingeführt und wir sollen eine kleine Aufgabe dazu machen.

Wir sollen das Integral von 0 bis Pi (2x * sin(x^2)) dx

14.11.2006, 16:48

Geistermeister

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Das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{0} 2x*sin(x) dx \end{eqnarray*}$
lässt sich mit Substitution nicht so leicht lösen.
Oder meinst du
$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{0} 2x*sin(x^{2}) \end{eqnarray*}$ ?
Dann musst du t = x² setzen.
Ableitung ist dann t' = 2x.
Du musst dann diese Funktion durch t' , also 2x teilen, wobei sich dann
etwas wegkürzen lässt. Dann wird einfach nach der Variablen t integriert
und schließlich für t das x² eingesetzt und in das x dann die Grenzen.
Beim anderen Integral gehst du genauso vor mit der Substitution:
t = cos(x) und t' = - sin(x)

14.11.2006, 17:03

Summerdream

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Oh jaa tut mir leid hab mich verschrieben ... meinte das zweite.

Aber wir haben das nich so gemacht, von wegen die gleichung durch etwas teilen und so....

Wir hatten einfach eine Gleichung, die wir hergeleitet haben und in die wir hinterher eingesetzt haben....

14.11.2006, 17:06

Summerdream

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Ooookay nochmal... ich versuch mich mal besser auszudrücken Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also es geht um das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~2x\sin x^2 \dd x \end{eqnarray*}$

Sooooooooo das andere Beispiel habe ich nur benutzt, um zu zeigen, wo mein Problem liegt.

Ich weiß nicht, was mein f(t) ist.

g(x) =x^2
g'(x)= 2*x

14.11.2006, 17:17

Geistermeister

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f(t) ist deine Funktion, die du nach der Substitution erhältst.
f(x) ist hier: 2x*sin(x²)
und du hast substituiert:
g(x) = x²
g'(x) = 2x
So, und jetzt bildest du erstmal
$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{f(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$
Dann erhälst du:
f(t) = sin(x²)
Aber die Funktion hat immer noch die Variable x. Du kannst jetzt
einfach so für das x² das g(x) einsetzen. Aber das g(x) ist hier auch
gleichzeitig das t was du brauchst.
g(x) = t
Dann geht die Integration nach der Variable t.

In welcher Klasse bist du?

14.11.2006, 17:30

Summerdream

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Achsooooooooooooooooooooooo gut !!
Dankeschön! Habs jetzt verstanden!! =)

Bin in der 12.Warum?

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