nichtfaktorieller Ring

09.11.2010, 14:38

eisley

nichtfaktorieller Ring

Hallo zusammen !!

..es geht um folgende

Aufgabenstellung:

Sei $\begin{eqnarray*} R = \mathbb Z[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$

Zeige $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x]/(x^2+5) \cong R \end{eqnarray*}$
Zeige, dass die Ideale $\begin{eqnarray*} (2, 1+ \sqrt{-5}), (2, 1- \sqrt{-5}), (3, 1+ \sqrt{-5}), (3, 1- \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ in R Primideale sind
Zeige $\begin{eqnarray*} (2)=(2, 1+ \sqrt{-5})(2, 1- \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3)=(3, 1+ \sqrt{-5})(3, 1- \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ in R
Zerlege (6) in ein Produkt von Primidealen in R

Meine Ideen:

Ich muss als erstes eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x] \rightarrow \mathbb Z[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ konstruieren sowie eine von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x] \rightarrow \mathbb Z(x^2 +5) \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es nach der universellen Eigenschaft einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb Z[x]/(x^2+5) \rightarrow \mathbb Z [\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ ..
habe das 'theoretisch' verstanden, bin mir aber immer unsicher, wie ich das genau notieren muss bzw. genau ausführen muss.
wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} 2,3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ irreduzibel sind, aber nicht prim. Dann können doch die vorliegenden Ideale keine Primideale sein, oder?
..
..

wäre euch dankbar, wenn jemand die Zeit findet, mit mir diese Aufgabe durchzugehen! es sind alle wichtigen Grundaussagen darin enthalten und bietet mir ein gutes Beispiel, 4 Fliegen mit einer Klatsche zu kriegen.

vielen lieben Dank!

eisley.

09.11.2010, 17:43

system-agent

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Zuerst einmal die (a):
Mach dir zunächst einmal klar wie die Elemente von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ "aussehen". Sprich wie kann man ein Element von diesem Ring aufschreiben?
Damit definiere einen surjektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z[x]\to R \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} \ker(f)=(x^2+5) \end{eqnarray*}$ . Mit dem Isomorphiesatz folgt die behauptete Isomorphie.

09.11.2010, 17:58

eisley

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genau hier liegt mein Problem bei dieser Teilaufgabe. Ich habe das Diagramm mit den Abbildungen vor mir..wie ich es beschrieben habe.

..aber sehe nicht, wie diese Elemente bzw. der gesuchte surjektive Homomorphismus aussehen muss. unglücklich

Edit: DANKE! dass du mir mit der Aufgabe hilfst.

09.11.2010, 18:12

system-agent

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Wie sehen denn die Elemente von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ aus?

09.11.2010, 18:16

eisley

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$\begin{eqnarray*} R:= \mathbb Z[\sqrt{-5}]={a+b\sqrt{-5}, \, a,b \in \mathbb Z} \end{eqnarray*}$

09.11.2010, 18:39

system-agent

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Ja, ganz genau.

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ ist der Ring der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Im Faktorring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x]/(x^2+5) \end{eqnarray*}$ gilt also die Rechenregel $\begin{eqnarray*} x^2+5=0 \end{eqnarray*}$ .
Wie sehen also die Elemente des Faktorrings aus?

09.11.2010, 18:45

eisley

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ich trau mich fast nicht, es zu sagen ..haha

$\begin{eqnarray*} (x- \sqrt{-5})(x+ \sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$

09.11.2010, 18:59

system-agent

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Nein, das ist falsch. Der Polynomring enthält alle Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Salopp, alle Ausdrücke mit einem Ding, in das man alles einsetzen kann, von beliebig hoher Potenz und mit ganzzahligen Koeffizienten.
Nun wird zusätzlich in dem Ring die Rechenregel $\begin{eqnarray*} x^2+5=0 \end{eqnarray*}$ eingeführt.

Zum Beispiel ist dann auch $\begin{eqnarray*} (2x^{2010}+2010)(x^2+5)=0 \end{eqnarray*}$ [im Quotienten].
Anders gesagt, alle Vielfache von $\begin{eqnarray*} x^2+5 \end{eqnarray*}$ sind Null. Was passiert mit den Resten, die nicht durch $\begin{eqnarray*} x^2+5 \end{eqnarray*}$ teilbar sind?
Vergleiche das gedanklich mal mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/7\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Hier ist dann plötzlich auch eine neue Spielregel aufgetaucht, nämlich $\begin{eqnarray*} 7=0 \end{eqnarray*}$ . Auch hier: Alle Vielfachen von $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ sind nun Null. Was bleibt hier übrig?

09.11.2010, 19:08

eisley

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also bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / \mathbb Z 7 \end{eqnarray*}$ bleibt ja dann nur noch 1 bis 6. und alle Vielfachen von 1, 2, ..., 6 können ja wieder 'reduziert' werden..

..ich steh bei der gegebenen Aufgabenstellung völlig auf dem schlauch. unglücklich

ach

09.11.2010, 19:14

system-agent

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Ja, genau. Und um die Restklasse eines Elements $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ zu finden hast du die Division mit Rest gemacht. Zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} 11=1\cdot7+4 \end{eqnarray*}$ und weil du die Spielregel $\begin{eqnarray*} 7=0 \end{eqnarray*}$ beachtest, kriegst du $\begin{eqnarray*} [4] \end{eqnarray*}$ als die Klasse von $\begin{eqnarray*} 11 \end{eqnarray*}$ .
Ausserdem folgt aus der Division mit Rest $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ dass der Rest die Bedingung $\begin{eqnarray*} 0\leq s<7 \end{eqnarray*}$ erfüllen muss.

Hier geht das ganz analog:
Um die Restklasse eines Elements in $\begin{eqnarray*} h\in\mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, machst du Division mit Rest $\begin{eqnarray*} h(x)=r(x)(x^2+5)+s(x) \end{eqnarray*}$ und das liefert dir hier auch die Restklasse.
Hier lautet die Bedingung an den Rest, dass $\begin{eqnarray*} 0\leq\text{Grad}(s)<\text{Grad}(x^2+5)=2 \end{eqnarray*}$ .
Kannst du nun die möglichen Reste bestimmen [was dann gerade die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x]/(x^2+5) \end{eqnarray*}$ sind]?

09.11.2010, 19:23

eisley

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ich bin irgendwie froh so weit weg von dir zu sein, wenn ich gleich sage: ich habs noch immer nicht gesehen! geschockt

..und ich entschuldige mich an der Stelle mal noch, dass ich deine Nerven so strapaziere ! Gott

09.11.2010, 19:33

system-agent

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Wichtig ist die Bedingung über den Grad der Polynome. Diese sagt, dass die Klassen von Polynomen von Grad 1 repräsentiert werden. Also $\begin{eqnarray*} a+bx \end{eqnarray*}$ repräsentiert eine Klasse, $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Anders gesagt die Elemente in dem Quotienten sind gerade die Reste der Polynome die übrigbleiben, wenn man irgendein Polynom durch das Polynom $\begin{eqnarray*} x^2+5 \end{eqnarray*}$ teilt.

09.11.2010, 19:38

eisley

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dann wäre ja das $\begin{eqnarray*} s(x) \end{eqnarray*}$ von deiner Antwort oben $\begin{eqnarray*} a+bx \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

09.11.2010, 19:51

system-agent

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Ja, es hat immer eine solche Form.

Beachte auch die Funktion der Klasse vom Polynom $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also das Element $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ . Diese Klasse ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x]/(x^2+5) \end{eqnarray*}$ und sie erfüllt
$\begin{eqnarray*} [x]^2+5=[x^2]+5=[x^2+5]=[0] \end{eqnarray*}$ . Das heisst das Element $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} [x]^2+5=0 \end{eqnarray*}$ im Faktorring und so gesehen könnte man sagen, dass dieses $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ eine Wurzel aus 5 darstellt.

Erkennst du die Parallelen zwischen den beiden Ringen?

09.11.2010, 20:03

eisley

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..es würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ geschickt werden kann, wie in der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Die Klasse $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ ist aber - wie du erklärt hast - auch Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x]/(x^2+5) \end{eqnarray*}$

..und mit dieser Klasse soll nun der gesuchte Homomorphismus mit $\begin{eqnarray*} ker(\phi)=(x^2+5) \end{eqnarray*}$ 'gebastelt' werden?

..ich hab mich glaubs total verrennt..sorry!

09.11.2010, 20:19

system-agent

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Du hast dich nicht verrennt Augenzwinkern

. Du beschreibst bereits den Isomorphismus. Und das ist alles richtig.

Wir wollten allerdings einen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z[x]\to R \end{eqnarray*}$ konstruieren. Wie könnte das gehen? Ein Versuch mit $\begin{eqnarray*} g\mapsto g(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} g\in\mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ , ist ein guter Gedanke. Das widerspiegelt, dass Elemente von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nichts anderes sind, als ganzzahlige Polynome in denen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ ersetzt wurde. Letztlich ist der Homomorphismus gegeben durch $\begin{eqnarray*} x\mapsto\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ .

Natürlich kann das noch kein Isomorphismus sein. In $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (\sqrt{-5})^2+5=0 \end{eqnarray*}$ und das heisst, dass jedes Vielfache des Polynoms $\begin{eqnarray*} x^2+5 \end{eqnarray*}$ auf die Null geschickt wird [nachrechnen!].

09.11.2010, 20:26

eisley

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also $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ ist nun unser surjektiver Homomorphismus. und dann müsste doch noch, um die gesuchte Isomorphie zu zeigen, Injektivität vorliegen.. seh ich das richtig?

..oder suche ich wieder am falschen Ort.

Danke !

09.11.2010, 22:57

system-agent

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Zitat:

Original von eisley
also $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ ist nun unser surjektiver Homomorphismus.

Genau.

Zitat:

Original von eisley
und dann müsste doch noch, um die gesuchte Isomorphie zu zeigen, Injektivität vorliegen.. seh ich das richtig?

Nein. Dieser Homomorphismus ist ziemlich weit von der injektivität entfernt. Im Gegenteil, wenn du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \ker(f)=(x^2+5) \end{eqnarray*}$ , dann folgt die Behauptung mit dem Iso-Satz.

10.11.2010, 08:58

eisley

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..nun ja, das sollte nicht mehr allzu kompliziert sein: wir (du (: ) hast ja bereits festgehalten, dass jedes Vielfache von $\begin{eqnarray*} (x^2 + 5) \end{eqnarray*}$ auf die Null geschickt wird.

und das heisst automatisch, dass dann $\begin{eqnarray*} (x^2 + 5) \end{eqnarray*}$ auch den Kern beschreibt.

10.11.2010, 10:13

system-agent

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Aber leider ist "ist klar" kein Beweis.

Du könntest zum Beispiel wie folgt ansetzen:
Nehme ein beliebiges Polynom $\begin{eqnarray*} g\in\mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(g)=0\in R \end{eqnarray*}$ . Nun bevor wir $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anwenden, teilen wir das Polynom noch schnell durch $\begin{eqnarray*} x^2+5 \end{eqnarray*}$ . Wir bekommen $\begin{eqnarray*} g(x)=r(x)(x^2+5)+s(x) \end{eqnarray*}$ . Nun musst du dir nochmal klar machen welche Gestalt $\begin{eqnarray*} s(x) \end{eqnarray*}$ hat.
Es gibt jedenfalls zwei wesentlich verschiedene Fälle:
(i) $\begin{eqnarray*} s=0 \end{eqnarray*}$ , also das Nullpolynom
(ii) $\begin{eqnarray*} s\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Im Fall (i) kriegst du also $\begin{eqnarray*} g(x)=r(x)(x^2+5) \end{eqnarray*}$ und nun wende $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an:
$\begin{eqnarray*} 0=f(g)=f(?)=... \end{eqnarray*}$

Im Fall (ii) wende nun auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an und beachte welche Gestalt $\begin{eqnarray*} s(x) \end{eqnarray*}$ hat.

10.11.2010, 13:30

eisley

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..irgendwie ist da der Wurm drin. ich habe mich nun bei einem Assistenten gemeldet, der mir das an der Uni direkt noch einmal erklären wird..das ist wohl einfacher!

.. vielleicht hast du noch die Kraft, mir bei den anderen Aufgaben ein wenig zu helfen.. das wäre toll! Gott

vielen vielen lieben Dank

10.11.2010, 17:49

Jeba

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Hallo system-agent, oder sonst jemand?

Ich bin hier bei einer ähnlichen aufgabe und habe noch Fragen dazu:

habe ich das richtig verstanden, wenn s = 0
dann ist
$\begin{eqnarray*} 0=f(g)= f(\sqrt{-5})=x^2+5 \end{eqnarray*}$

und
wenn $\begin{eqnarray*} s \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann bist du schon bei eisleys Aufgabe b) bei der noch weitere Ideale gefunden werden müssen?

Habe auch Probleme damit, das richtig zu beweisen und wäre dankbar für weitere Hilfe.

Gruss
jeba

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