Eindeutigkeit eines Teilkörpers

09.11.2010, 16:58

dupla

Eindeutigkeit eines Teilkörpers

hallo,

ich bearbeite gerade folgende aufgabe:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb P \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und K ein körper mit $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ elementen. beweise:

zu jedem $\begin{eqnarray*} d|n \end{eqnarray*}$ existiert genau ein Teilkörper
$\begin{eqnarray*} L\leq K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |L|=p^d \end{eqnarray*}$

die existenz sowie dass $\begin{eqnarray*} |L|=p^d \end{eqnarray*}$ gilt, habe ich bereits zeigen können.

bei der eindeutigkeit bin ich mir aber nicht sicher.

wir haben in der vorlesung bereits gezeigt, dass für jede primzahl p und jede natürliche zahl n genau ein Körper mit $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ elementen existiert, bis auf ismorphie.

kann ich dieses argument benutzen, um die eindeutigkeit zu beweisen, oder sollte ich eher diesen ansatz verwenden(falls er richtig ist):

Seien $\begin{eqnarray*} L,L'\leq K \end{eqnarray*}$ teilkörper mit $\begin{eqnarray*} |L|=|L'|=p^d \end{eqnarray*}$

und dann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} L=L' \end{eqnarray*}$ ist?

09.11.2010, 18:47

Reksilat

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RE: Eindeutigkeit eines Teilkörpers
Hi dupla,

Nur weil zwei Teilkörper isomorph sind, müssen sie nicht gleich sein. Das Zitat reicht also nicht aus.

Gruß,
Reksilat.

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