Zu zeigen: konvergiert b_n+1/b_n, konv. Wurzel n von b_n

09.11.2010, 17:00

pablosen

Zu zeigen: konvergiert b_n+1/b_n, konv. Wurzel n von b_n

Hallo zusammen

Ich habe hier noch folgende Aufgabe offen:

Zeigen Sie, dass für jede Folge $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ positiver Zahlen gilt:
Konvergiert $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ , konvergiert $\begin{eqnarray*} ^n\sqrt{b_n} \end{eqnarray*}$ zu demselben Limes.

Folgend berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{^n\sqrt{n!}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {^n\sqrt{n!}} \end{eqnarray*}$ geht auf 1, also muss die Folge ja divergieren auf $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$

Ich kenne ja beide Formeln vom Quotienten- bzw. Wurzelkriterium her.

$\begin{eqnarray*} | \frac{b_{n+1}}{b_n} | < 1 \end{eqnarray*}$ (Reihe konvergiert). Naja, das bringt aber nicht viel, da $\begin{eqnarray*} ^n\sqrt{b_n} \end{eqnarray*}$ immer auf 1 geht(?).

Ich habe irgendwie bisher keine wirkliche Idee. Könnt ihr mir vlt. einen Tipp geben?

Grüsse

09.11.2010, 17:25

Abakus

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RE: Zu zeigen: konvergiert b_n+1/b_n, konv. Wurzel n von b_n

Zitat:

Original von pablosen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {^n\sqrt{n!}} \end{eqnarray*}$ geht auf 1, ...

Hallo!

Da denkst du schon falsch.

Grüße Abakus smile

09.11.2010, 20:19

pablosen

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RE: Zu zeigen: konvergiert b_n+1/b_n, konv. Wurzel n von b_n
Stimmt, ich weiss, ich muss zuerst diesen Schritt hier machen:

Konvergiert $\begin{eqnarray*} \frac{b_{n+1}}{b_n} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} b_{n+1} \leq b_n \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten N mit $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$

???

09.11.2010, 20:26

hallos

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sagen wir b_n konvergiert für n->oo gegen b. lim b^(1/n) für n->oo geht gegen 1, für alle b aus |R.
wenn b_n konvergiert, konvergiert b_(n+1)/b_n auch gegen 1 (beweise dies z.b. durch das cauchy kriterium).

09.11.2010, 20:30

hallos

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sry, falsch gelesen!

09.11.2010, 20:38

pablosen

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Zitat:

Original von hallos
sagen wir b_n konvergiert für n->oo gegen b. lim b^(1/n) für n->oo geht gegen 1, für alle b aus |R.
wenn b_n konvergiert, konvergiert b_(n+1)/b_n auch gegen 1 (beweise dies z.b. durch das cauchy kriterium).

Sei $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge.
Sei $\begin{eqnarray*} b:= \lim_{n \to \infty} (b_n) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}\underbrace{=}_{b_{n+1}\rightarrow b ; b_n \rightarrow b} \lim_{n \to \infty} \frac{b}{b} = 1 \end{eqnarray*}$

Nun folgt:
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \lim_{n \to \infty} {^n\sqrt{b_n}} = \lim_{n \to \infty} {^n\sqrt{b}} = \lim_{n \to \infty} b^{\frac{1}{n}} \underbrace{=}_{\frac{1}{n}\rightarrow 0} 1 \end{eqnarray*}$

Kann man diesen Beweis so bringen?

09.11.2010, 20:44

hallos

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ja kannst du (das b^(1/n) für n->oo 1 ist müsstest du evtl. noch beweisen). aber du musst ja das ganze auch für nicht konvergente folgen beweisen.

09.11.2010, 21:13

pablosen

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Zitat:

Original von hallos
ja kannst du (das b^(1/n) für n->oo 1 ist müsstest du evtl. noch beweisen). aber du musst ja das ganze auch für nicht konvergente folgen beweisen.

Sei $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{b_n} \underbrace{=}_{\text{kürze } b_n} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1} =1 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit mal korrekt?

09.11.2010, 21:40

pablosen

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Da

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1^0 \leq \lim_{n \to \infty} 1^{\frac{1}{n}} \leq \lim_{n \to \infty} 1^1 \forall n \in \mathbb{N} \backslash \{ 0 \} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}1^0 = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}1^1 = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \lim_{n \to \infty} 1^{\frac{1}{n}}=1 \leq 1 \end{eqnarray*}$

Nun die Berechnung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{^n\sqrt{(b_n)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1} \end{eqnarray*}$
für alle beliebigen Folgen $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{n}{^n\sqrt{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1}=+\infty \end{eqnarray*}$

Kann man so bringen oder?

10.11.2010, 14:47

pablosen

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Der Beweis ist natuerlich ziemlich sicher ziemlich falsch. Koennt ihr mir nicht ev. einen Tipp dazu geben?

11.11.2010, 23:18

r_zeta

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$\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{n^n}{n!}, \frac{b_{n + 1} }{b_{n} } = \frac{(n + 1)^{n + 1}\cdot n!} {(n + 1)!\cdot n^{n}} = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n=e \end{eqnarray*}$

Du musst nur noch zeigen dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n] {\frac{b_{n+1} }{b_{n} } } \end{eqnarray*}$ ,geometrischen Mittel, auch gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ konvergieren

11.11.2010, 23:48

pablosen

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Danke soweit.

Zitat:

Original von r_zeta
$\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{n^n}{n!}, \frac{b_{n + 1} }{b_{n} } = \frac{(n + 1)^{n + 1}\cdot n!} {(n + 1)!\cdot n^{n}} = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n=e \end{eqnarray*}$

Du musst nur noch zeigen dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n] {\frac{b_{n+1} }{b_{n} } } \end{eqnarray*}$ ,geometrischen Mittel, auch gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ konvergieren

Das eine ist:
Aber man muss doch zeigen, dass dies folgt für eine beliebige Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ? Und oben zeige ich es nur für konvergente Folgen und keine Nullfolgen... für geometrische Folgen kann ich es auch noch zeigen, aber nicht für eine beliebige Folge bisher (?)

Und das andere:
Für $\begin{eqnarray*} b_n:= \frac{n^n}{(n!)} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{b_n} \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{b_{n+1}}{b_n}} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} =\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}=\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \end{eqnarray*}$ und da habe ich bisher keine Form gefunden, die der Exponentialfunktion-Form entspricht.

Mein jetziger Stand ist:

Für konvergente Folgen sind beide Ausdrücke =1 . Auch kann ichs für geometrische Folgen beweisen (fast trivial)... Aber nicht für beliebige Folgen bisher... irgendwie habe ich bisher den Eindruck, es stimmt für nicht konvergente Folgen nur, wenn es sich um eine geometrische Folge handelt.....naja

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