Satz von Helly

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14.11.2006, 15:56	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Helly Habe ein Problem mit einer Aufgabe und komme nicht weiter. Ich soll ein Gegenbeispiel für den Satz von Helly finden, für den Fall, wenn eine der Mengen nicht konvex ist! Kann mir da jemand helfen? Außerdem soll ich zeigen, dass wenn K1 und K2 Teilmenge des R hoch n abgeschlossen und mindestens eine der beiden Mengen kompakt, dass dann auch K1+K2 abgeschlossen Steh leider total auf dem schlauch!
14.11.2006, 19:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was besagt denn der Satz von Helly? Gruß MSS
14.11.2006, 21:17	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
ALso: Der Satz von Helly sagt: Seien K1,...,Kr mit r $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ n+1 konvexe Teilmengen des R hoch n mit der Eigenschaft, dass je n+1 der der Ki nicht leeren Durchschnitt haben. Dann gilt auch: Der Schnitt der Ki (mit i=1 bis r) ist ungleich der leeren Menge. (tut mir leid, dass das so unschön geschrieben ist, aber ist konnte die Formel nicht reinkopieren...)
14.11.2006, 21:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dazu gar keine Idee? Versuch doch mal, erstmal im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ein Gegenbeispiel zu finden. Gruß MSS
14.11.2006, 22:07	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hab mir ein Bildchen gemalt. Hab drei Konvexe Mengen (alles gleich große Kreise) so angeordnet, dass sie sich in der Mitte leicht überlappen, d.h. die Schnittmenge ist ungleich der leeren Menge. Da ja eine Menge nicht konvex sein soll, hab ich eine Menge gezeichnet, die ringförmig um den Schnittpunkt der anderen drei Mengen liegt. So haben jeweils drei Mengen einen Schnitt, der ungleich der leeren Menge ist, nicht aber alle vier... Ist das in Ordnung? WIe soll ich weiter vorgehen?
14.11.2006, 22:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ brauchst du eigentlich nur 3 und nicht 4 Mengen. Das Beispiel ist ok, aber ganz schön kompliziert. Nimm einfach zwei gleich große Kreise, die sich schneiden, und eine gemeinsame Tangente an die beiden Kreise. Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ kannst du dann einfach die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Ebene nehmen, darauf die beiden Kreise und die Tangente und dann einfach einen dritten Kreis, der die beiden Kreise schneidet und die Gerade auch als Tangente hat. Gruß MSS
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14.11.2006, 22:43	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte, ich muss 4 Mengen nehmen, weil ich ja in der Voraussetzung sage, dass immer n+1 Mengen einen nicht leeren Durchschnitt haben. Macht das Sinn? Oder müsste an der Stelle sthen, dass immer n Mengen einen nichtleeren Durchschnitt haben???
14.11.2006, 22:45	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber bei $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
14.11.2006, 22:47	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh nicht, welche der Mengen in dem Beispiel mit den drei Kugeln nicht konvex ist...
14.11.2006, 22:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, die Gerade ist ja konvex. Sorry. Nagut, dann kannst du dein Beispiel nehmen. Du brauchst aber nur $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ Kreise ... Gruß MSS
14.11.2006, 22:51	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich steh auf dem Schlauch... Wenn im R² n+1=3 Mengen nach voraussetzung einen nichtleeren schnitt haben sollen, muss ich doch mindestens eine vierte Menge dazu nehmen, die (a) nicht konvex ist und (b) zwar mit jeweils zwei der anderen drei Mengen eine nichtleere schnittmenge hat (denn immer n+1 sollen einen nichtleeren schnitt haben) und die nicht die Schnittmenge der anderen DREI konvexen Mengen schneidet...
14.11.2006, 22:56	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich lese heut nicht gut genug. Sorry, du hast Recht. Gruß MSS
14.11.2006, 23:04	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt, ich kann mein Gegenbeispiel nehmen??? Leider kann ich dass nicht formulieren, kann du mir dabei helfen??
14.11.2006, 23:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst, die Mengen durch Gleichungen beschreiben? Bei den Kreisen sollte das ja kein Problem sein. Wie genau der "Ring" darum aussieht, solltest du präzisieren. Gruß MSS
14.11.2006, 23:14	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabenstellung steht "finden sie ein Beispiel" Ich glaub ich mach einfach ne ordentliche Skizze.. Danke für die Hilfe!
14.11.2006, 23:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der zweiten Aufgabe kann ich dir vielleicht etwas besser helfen. Hast du da schon eigene Ansätze? Gruß MSS
14.11.2006, 23:42	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab immer Probleme mir die Kompaktheit vorzustellen.... Abgeschlossenheit hieß doch "Abgeschlossen bzgl. Addition und skalarer Multiplikation", oder?? Weiß jedoch nicht, wir ich anfange..
14.11.2006, 23:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, in dem Zshg. ist Abgeschlossenheit etwas ganz anderes! Eine Menge $\begin{eqnarray} M\subset\mathbb R^n \end{eqnarray}$ heißt abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n\in M\ \forall\ n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ der Grenzwert der Folge auch in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ liegt. Gruß MSS
15.11.2006, 00:01	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich erinner mich dunkel... Trotzdem weiß ich nciht, wie ich anfangen soll
15.11.2006, 00:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray} K_1+K_2 \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist. Sei also $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge aus dieser Menge. Jetzt musst du zeigen, dass ihr Grenzwert wieder in der Menge liegt. Gruß MSS
15.11.2006, 00:08	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit hab ich das verstanden, aber inwiefern spielt die Kompaktheit einer der beiden Mengen dabei eine Rolle?
15.11.2006, 00:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du musst jetzt erstmal eine Darstellung von $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ mithilfe der Elemente aus $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ finden und danach kommt die Kompaktheit ins Spiel. Gruß MSS
15.11.2006, 00:12	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, fangen wir mal an: Sei Xn Folge in K1 mit Xn-->a für n--> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ,a element K1 yn Folge in K2 mit Xn-->b für n--> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ,b element K2 ZZ: die folge Xn+Yn geht gegen a+b und das liegt in K1+K2 Kann ich so anfangen...??
15.11.2006, 00:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Du musst aus der anderen Richtung anfangen, wie ich schon gesagt habe: Sei $\begin{eqnarray} (x_n)\in K_1+K_2 \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge. Dann musst du zeigen, dass der Grenzwert in $\begin{eqnarray} K_1+K_2 \end{eqnarray}$ liegt. Gruß MSS
15.11.2006, 00:23	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach ich das mit konvergenten TEilfolgen?
15.11.2006, 00:36	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber erstmal musst du begründen, dass du $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ als Summe zweier Folgen darstellen kannst, von denen jeweils eine aus $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ und eine aus $\begin{eqnarray} K_2 \end{eqnarray}$ ist. Gruß MSS
15.11.2006, 00:51	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich verstanden, aber ich weiß trotzdem nicht, wie ich das beweise...
15.11.2006, 00:53	Definitionslücke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mal auf die abgeschlossenheit der Mengen S1 und S2 tippen....
15.11.2006, 17:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, erstmal gibt es ja zu jedem $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ja Zahlen $\begin{eqnarray} a\in K_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\in K_2 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} x_n=a+b \end{eqnarray}$ gilt. Es kann mehrere solcher Zahlen(paare) geben. Du kannst jetzt einfach sagen, dass du dir eines dieser Paare nimmst und somit definierst: $\begin{eqnarray} a_n\in K_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n\in K_2 \end{eqnarray}$ seien irgendwelche Zahlen, für die $\begin{eqnarray} x_n=a_n+b_n \end{eqnarray}$ gilt. Dann bilden $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ Folgen. O.B.d.A. sei $\begin{eqnarray} K_1 \end{eqnarray}$ kompakt. Was kannst du dann über die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ aussagen? Gruß MSS

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