euklidischer Abstand

14.11.2006, 16:01

Definitionslücke

euklidischer Abstand

Hi, ich muss mit Hilfe des Projektionssatzes bestimmen, wie groß der euklidische Abstand d(y,H) eines Punktes y element R hoch n von der Hyperebene

H={x element R hoch n : a transponiert * x = b}

mit a element R hoch n ohne 0
b element R

Brauche dringend eure Hilfe

14.11.2006, 19:21

Abakus

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RE: euklidischer Abstand
Der erste Schritt bei einer Lösung besteht darin, sich die Aufgabe und die darin verwendeten Begriffe klar zu machen. Daher habe ich folgende Fragen:

- wie ist der Abstand d(y,H) eines Punktes von einer Hyperebene definiert ?

- was ist die Aussage des Projektionssatzes, so wie ihr ihn hattet ?

Ergibt sich aus beidem schon eine Idee ?

Grüße Abakus smile

14.11.2006, 21:50

Definitionslücke

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Die Definition des Abstandes steht nicht im Skript, also hab ich mir überlegt:

d(y,H)=inf { d(x,y) : x element H}

Kann ich mir das so vorstellen?

Der Satz, den wir verwenden sollen lautet:

"Seien K c R hoch n (wie schreib ich denn hoch n???) abgeschlossen, konvex und nicht leer, y nicht element K
Dann existiert genau ein x' element K mit

(a) II y - x II = min II y - x II (mit x element K) (die II II sollen die Norm sein)ColorCOLOR
x' heißt dann Projektion von y auf K

(b) x' ist Projektion von y auf K <=> (x-x')(y-x') $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x element K

15.11.2006, 00:06

Abakus

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Ich schreib den Satz mal in Latex:

Zitat:

Projektionssatz
Sei $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, konvex und nicht leer, und $\begin{eqnarray*} y \notin K \end{eqnarray*}$

Dann existiert genau ein $\begin{eqnarray*} x' \in K \end{eqnarray*}$ mit:

(a) $\begin{eqnarray*} \mid y - x' \mid = min \{ \mid y - x \mid~ : x \in K \} \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ ist die Projektion von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} K \Leftrightarrow (x - x') (y - x') \leq 0 \text{ für alle } x \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ heißt dann Projektion von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$

Der Abstand ist nach a) bereits über das Minimum definiert.

OK, wenn nun $\begin{eqnarray*} H := H_{a, b} := \{x : a^T \cdot x = b\} ~(a \neq 0) \end{eqnarray*}$ ist, lässt sich dann der Projektionssatz auf $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ anwenden ?

Dazu müsstest du überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ abgeschlossen, konvex, und nicht leer ist. Ist das der Fall und wie begründest du das im Einzelnen ?

Sei nun $\begin{eqnarray*} y \notin H \end{eqnarray*}$ . Was gilt nun alles ?

Grüße Abakus smile

EDIT: wenn du auf "zitieren" klickst, kannst du die Latex-Notation sehen

15.11.2006, 00:18

Definitionslücke

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Da H eine Hyperebene ist, müsste die Menge doch konvex sein, oder?
Kann mir grad nicht vorstellen, wie eine nichtabgeschlossenen Ebene aussehen soll....
Wenn die Ebene außerdem existiert, kann sie doch nicht ohne Elemente sein...
Mach ich was falsch?

15.11.2006, 01:16

Abakus

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Zitat:

Original von Definitionslücke
Da H eine Hyperebene ist, müsste die Menge doch konvex sein, oder?
Kann mir grad nicht vorstellen, wie eine nichtabgeschlossenen Ebene aussehen soll....
Wenn die Ebene außerdem existiert, kann sie doch nicht ohne Elemente sein...

Es ist wohl so, doch hier sind zumindest exakte Begründungen gefragt. Die weitere Frage ist, was für das $\begin{eqnarray*} y \notin H \end{eqnarray*}$ alles gilt.

Grüße Abakus smile

15.11.2006, 01:22

Definitionslücke

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Das ist heut Abend alles ein bissel viel.
Werd mir bis morgen Gedanken machen.
Dankeschön fürs Helfen

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