Ungleichung

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09.11.2010, 19:04	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung Meine Frage: hi, ich bin grad etwas verwirrt und weiß nicht, wie ich genau bei der folgenden aufgabe anfangen soll. Sie lautet: [latex]a\in \mathbb R+, x\in [0,1] [latex] Zeige (1+a)^x <= 1+a^x Meine Ideen: Wahrscheinlich muss ich jetzt hier eine Fallunterscheidung machen, da induktion nicht geht. ich weiß aber nicht wie ich jetzt genau anfangen muss und welche fälle zu betrachten sind. 1.) a>0 und x=0 2.) a>0 und x=1 3.) a>0 und 0<x<1 muss ich noch mehr zeigen?? lieben gruß madame
09.11.2010, 19:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fallunterscheidung ist korrekt, allerdings braucht man sie nicht wirklich. Du könntest z.b. $\begin{eqnarray} f(u)=u^x \end{eqnarray}$ definieren und mal den Mittelwertsatz auf das Intervall $\begin{eqnarray} (a,a+1) \end{eqnarray}$ anwenden.
09.11.2010, 19:18	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
joa...aber das problem ist, dass das in der vorlesung noch nicht definiert worden ist und ich daher den mittelwertsatz nicht benutzen darf. Gibt es noch eine andere Möglichkeit? grüße
09.11.2010, 19:20	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was habt ihr denn der Vorlesung schon so gehabt? Differentialrechnung? Und wenn ihr noch nicht so weit seid: Wie habt ihr denn überhaupt die Potenz für reelle Exponenten definiert?
09.11.2010, 21:36	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten bis jetzt - Axiomatische Definitionen der reellen Zahlen - Absolutbetrag + Eigenschaften - Induktion 1,2 - Maximum/Minimum von Mengen - Abzählbarkeit - Intervallschachtlun - komplexe zahlen -Potenzen Definition zu reelllen Potenzen ist: Für a aus R mit 0< a <1 und x aus R definieren wir a^x = (a^-1)^-x Als Hinweis für diese Aufgabe ist noch angegeben: Für den Fall a<0 können Sie folgende abschätzung verweden: $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{a} )^x\leq 1+x\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$
09.11.2010, 21:53	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
1. ist diese Definition der Potenz sinnfrei. Das könnte höchstens als Rechenregel so definiert sein um von der postiven Potenz auf die negative Potenz zu kommen. 2. Die Abschätzung macht für a < 0 keinen Sinn, z.b. für $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a = \frac{-1}{2} \end{eqnarray}$ ergibt sich links $\begin{eqnarray} \sqrt{-1} \end{eqnarray}$ . Ich kann nur vermuten, dass du die Abschätzung für positive a gegeben hast. Dann ergibt sich $\begin{eqnarray} \frac{1+a^x}{(1+a)^x}=\frac{1+\frac{1}{a^x}}{\left(1+\frac{1}{a}\right)^x} \geq \frac{1+\frac{1}{a^x}}{1+\frac{x}{a}} \geq 1 \end{eqnarray}$ Um das letzte Größergleich-Zeichen zu begründen, müsstest du noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{a^x} \geq \frac{x}{a} \end{eqnarray}$ zeigen. Das sei dir überlassen.
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09.11.2010, 21:57	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig a>0. Danke für deine Hilfe!
11.11.2010, 16:12	Madame	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich habe nochmal grad ne frage. ich verstehe nicht ganz, wie du von $\begin{eqnarray} \frac{1+a^x}{(1+a)^x} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \frac{1+\frac{1}{a^x} }{(1+\frac{1}{a})^x } \end{eqnarray}$ kommst. Hast du bei diesem Schritt den HInweis benutzt? ..wenn ja komme ich dann nämlich auf $\begin{eqnarray} \frac{1+a^x}{(1+a)^x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac {1+\frac{x}{a}}{(1+\frac{1}{a})^x} \end{eqnarray}$ Kannst du mir das nochmal erklären?? grüße
11.11.2010, 19:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einfach durch $\begin{eqnarray} a^x \end{eqnarray}$ gekürzt. Den Hinweis gab mir mein Mathelehrer in der 6. Klasse

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